02 单-复数

本题导读 本题考查复数的代数运算。通过简单的代入与分式化简，考查学生对复数基本运算规则及虚数单位 $i$ 性质的掌握情况。

📌 【题干】

Question

已知 $z=1+i$，计算 $\frac{1}{z-1}=()$

A. $-i$	B. $i$	C. $-1$	D. $1$

🔍 【思路分析】

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1. 代入已知量：将 $z=1+i$ 直接代入待求式 $\frac{1}{z-1}$ 中.
2. 化简分母：观察分母的实部是否可以抵消，简化分式.
3. 分母实数化：利用 $i^2=-1$ 的性质，处理分母中的虚数单位.

✅ 【答案】

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A

✍ 【详细解析】

Abstract

将 $z=1+i$ 代入表达式： $\frac{1}{z-1}=\frac{1}{(1+i)-1}$

分母部分实部相减：

$\frac{1}{(1-1)+i}=\frac{1}{i}$

分子分母同时乘以 $-i$（或利用 $\frac{1}{i}=-i$ 的常用结论）： $\frac{1\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}=\frac{-i}{-i^2}=\frac{-i}{-(-1)}=\frac{-i}{1}=-i$ 故选：A.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则代数运算、虚数单位 $\text{i}$ 的核心性质（ ${\text{i}}^2=-1,\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ ）.

2. 核心方法：直接代入与性质秒杀法。解决复数选择题时，熟练记住一些常用的基础二级结论（如 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$， $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$， $\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\text{i}$ ），能够大幅度压缩客观题的作答时间.

3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（虚数倒数符号看错）：考场上极易由于粗心将 $\frac{1}{\text{i}}$ 误记为 $\text{i}$ 从而错选 B。必须明确，分母上的 $\text{i}$ 提到分子上必须改变符号.
• 避坑指南 2（看错求值目标）：审题时看清是求 $\frac{1}{z-1}$ 还是 $\frac{1}{z}$。本题设计较为温柔，若误算为 $\frac{1}{z}=\frac{1}{1+\text{i}}=\frac{1-\text{i}}{2}$，选项中并未设置此干扰项，但平时训练仍需严密审题.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第二册第七章《复数》中“复数的四则运算”的课后配套基础练习。属于高考为了考查全体考生复数核心基盘而设计的传统必拿分题.

2. 结论推广（复数乘法的几何旋转本质）： 在复平面中，任何一个复数乘以 $\text{i}$ 对应着将该复数在复平面上逆时针旋转 $90^{\circ }$.

• 相应地，一个复数除以 $\text{i}$（即乘以 $\frac{1}{\text{i}}$），就对应着将该复数顺时针旋转 $90^{\circ }$.

• 本题中，实数 $1$ 对应的向量在正 $x$ 轴上，将其除以 $\text{i}$ 即顺时针旋转 $90^{\circ }$，对应的向量直接指向负 $y$ 轴，其对应的复数显然就是 $-\text{i}$。利用复数的几何向量网，可以实现完全免计算的“秒看答案”.

3. 方法推广（分母实数化的通用法则）： 当未来题目中的复数分式变得更加复杂（如 $\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}$），其处理的通用法则依然是本题方法二的延伸——“分子分母同乘以分母的共轭复数”： $\frac{a+b\text{i}}{c+d\text{i}}=\frac{(a+b\text{i})(c-d\text{i})}{(c+d\text{i})(c-d\text{i})}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)\text{i}}{c^2+d^2}$ 将这一代数结构内化为底层的运算惯性，是攻克后续复数结合方程、复数模长最值等复合客观题的坚实地基.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

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