08 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心意图是要求学生利用半角（或二倍角）关系求出 $\alpha$ 的正弦和余弦值，再通过两角差的正弦公式计算目标表达式的值.

📌 【题干】

Question

已知 $0<\alpha <\pi$，$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，则 $\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})=()$

A. $\frac{\sqrt{2}}{10}$	B. $\frac{\sqrt{2}}{5}$	C. $\frac{3\sqrt{2}}{10}$	D. $\frac{7\sqrt{2}}{10}$

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 求 $\cos \alpha$：利用二倍角公式 $\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1$，由 $\cos \frac{\alpha }{2}$ 求出 $\cos \alpha$.

2. 求 $\sin \alpha$：根据 $0<\alpha <\pi$ 确定 $\sin \alpha$ 的符号，利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 求出 $\sin \alpha$.

3. 公式展开：利用 $\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}$ 代入数值计算.

✅ 【答案】

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D

✍ 【详细解析】

Abstract

第一步：求 $\cos \alpha$ 已知 $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，根据二倍角公式： $\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1=2\times (\frac{\sqrt{5}}{5}{)}^2-1=2\times \frac{5}{25}-1=\frac{2}{5}-1=-\frac{3}{5}$

第二步：求 $\sin \alpha$ 因为 $0<\alpha <\pi$，所以 $\sin \alpha >0$. $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-(-\frac{3}{5}{)}^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$ 第三步：计算目标值 $\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}$ 代入 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$，

$\cos \alpha =-\frac{3}{5}$，

$\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$： $\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-(-\frac{3}{5})\times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{4\sqrt{2}}{10}+\frac{3\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$ 故选：D.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角余弦公式的逆向应用、同角三角函数象限符号判定、两角差正弦公式的精准展开.
2. 核心方法：基本名变换法（降幂扩角思想）。在三角恒等变换中，看到“半角 $\frac{\alpha }{2}$” 与 “全角 $\alpha$” 的混合结构，统一化角（通过二倍角公式化半为全，或化全为半）是破题的唯一刚性主线.
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（象限符号错判引发连环车祸）：本题最容易翻车的地方在于求 $\sin \alpha$ 时，部分同学未注意 $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$ 已经说明 $\alpha$ 变为了钝角，如果在展开式最后一步把 $-\frac{3}{5}$ 的负号漏掉，会错算为 $\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$（误选 A）。三角大题，符号先行，每算出一步，必须盯紧自变量的取值范围.
• 避坑指南 2（高阶技巧：考场估算秒杀拦截）：作为第 8 题压轴，可以用数形结合进行极限拦截
• 因为 $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx \frac{2.236}{5}=0.447$.
• 依据特殊角余弦值 $\cos 60^{\circ }=0.5$ 以及 $\cos 90^{\circ }=0$。由于余弦函数在第一象限单调递减，由 $0.447<0.5$ 可知 $\frac{\alpha }{2}>60^{\circ }⟹\alpha >120^{\circ }$.
• 代入目标表达式的角： $\alpha -45^{\circ }>120^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$.
• 另外由 $\cos \frac{\alpha }{2}>0$ 知 $\frac{\alpha }{2}<90^{\circ }⟹\alpha <180^{\circ }⟹\alpha -45^{\circ }<135^{\circ }$.
• 也就是说，目标角 $\left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$ 严格被夹逼在 $75^{\circ }$ 到 $135^{\circ }$ 之间.
• 在此区间内，其正弦值必然非常接近 1（在 $75^{\circ }$ 处 $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0.965$）.
• 观察四个选项： $\sqrt{2}\approx 1.414$。A 项 $\approx 0.14$；B 项 $\approx 0.28$；C 项 $\approx 0.42$；D 项 $\frac{7\times 1.414}{10}\approx 0.99$。只有 D 选项 具备如此高位的数值量级，无需动笔即可盲秒答案.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第一册第五章《三角函数》中“三角恒等变换”章节课后提升题的同构变形。属于新高考在客观题中段用来拉开考生成绩差距的传统代数技巧题.
2. 结论推广（由万能公式引发的勾股数特征网络）： 在高考三角恒等变换中，只要看到某角的正弦或余弦值出现 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{4}{5}$（或是算出来这个值），其底层的半角切值必然与常用的商数相互咬合.

• 设 $t=\tan \frac{\alpha }{2}$，由万能公式知 $\cos \alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}=-\frac{3}{5}⟹t=2$.
• 此时利用直角三角形，若 $\tan \frac{\alpha }{2}=2$，则其对边为 2，邻边为 1，斜边为 $\sqrt{5}$.
• 由此可直接“反切”读出 $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
• 这一“直角三角形基本原件”在文献库中收录后，未来在模拟卷上只要看到 $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，脑海中应瞬间映射出其全角的勾股数组合为 $(3,4,5)$ 且余弦为负，从而直接跳过繁琐的二倍角公式列式，达成“思维跨越式”的降维解题.

3. 方法推广（“辅助角公式”与“和差化积”的复合前瞻）： 若本题的目标表达式变异为更加复杂的复合形式（如求 $\sin \alpha +\cos \alpha$ 的最值或范围），其核心的处理技术依然是本题两角和差展开的逆向运用——即辅助角公式（提公因式法）： $A\sin \alpha +B\cos \alpha =\sqrt{A^2+B^2}\sin (\alpha +\phi )\left(\text{其中 }\tan \phi =\frac{B}{A}\right)$ 将“单角化多角”与“多角合单角”的无缝切换内化为底层的运算直觉，是攻克后续三角函数结合正余弦定理、三角型函数图像性质压轴大题的坚实技术铠甲.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

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