14 填-内切球

本题导读

本题考查封闭空间内几何体的填充最值问题.核心在于构建两球在圆柱内处于“临界相切”状态时的几何模型，通过分析球心在水平与竖直方向的投影距离，利用勾股定理建立关于半径 $r$ 的方程求解.

📌 【题干】

Question

一个底面半径为 $4\text{cm}$，高为 $9\text{cm}$ 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______$\text{cm}$.

🔍 【思路分析】

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1. 确定临界状态：要使半径 $r$ 最大，两个铁球应当处于“最挤”的状态。即两球相互外切，且分别与圆柱的一个底面及侧面相切.
2. 球心位置分析：

• 竖直方向：设圆柱高为 $H=9$。下球球心距底面 $r$，上球球心距顶面 $r$，则两球心在竖直方向的距离为 $h=9-2r$.
• 水平方向：圆柱底面半径为 $R=4$，直径为 $8$.为使 $r$ 最大，两球心在水平面上的投影应尽可能远.每个球心距侧母线距离为 $r$，则两球心在水平投影面上的距离为 $d=8-2r$.

3. 建立方程：两球心之间的空间距离恒等于 $2r$。根据勾股定理有 $h^2+d^2=(2r{)}^2$.
4. 解方程并校验：解出 $r$ 后，需确保 $2r⩽8$（球径不超底面直径）且 $2r⩽9$.

✅ 【答案】

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2.5

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 第一步：几何建模与参数设定 设铁球半径为 $r$. 当半径达到最大值时，两球心 $O_1,O_2$ 的相对位置满足：

• 竖直距离（高差）：$|z_1-z_2|=9-r-r=9-2r$；
• 水平距离（投影差）：$|x{y}_1-x{y}_2|=8-r-r=8-2r$.

2. 第二步：利用勾股定理列方程 由于两球外切，球心距为 $2r$。根据空间两点间距离公式： $(9-2r{)}^2+(8-2r{)}^2=(2r{)}^2$ 展开各项： $(81-36r+4r^2)+(64-32r+4r^2)=4r^2$ 合并同类项： $4r^2-68r+145=0$ 3.第三步：求解方程 利用十字相乘法或求根公式： $(2r-5)(2r-29)=0$ 解得：

• $2r=5⟹r=2.5$；
• $2r=29⟹r=14.5$（显然超过圆柱尺寸，舍去）. 4.第四步：物理意义校验 当 $r=2.5$ 时，球的直径 $2r=5$. $5<8$（底面直径）且 $5<9$（圆柱高度），符合实际物理空间限制. 故答案为：2.5（或 $\frac{5}{2}$）.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何空间切点位置解构、轴向与径向截面降维投影、高负载一元二次方程的配方开根计算。
2. 核心方法：空间中心差投影法（降维法）。解决所有立体几何“多体填充与外切”的核心通法是化体为点、化点为线。不要试图在三维空间中去画那个繁琐的相切面。直接盯死两个球心 $(O_1,O_2)$ 的空间相对坐标差，将空间距离利用垂直坐标轴投影分解为 $\Delta x,\Delta y,\Delta z$（本题中为对称轴向，只需分解为水平和竖直两个分量）。只要通过勾股定理锁死距离方程，立体几何问题瞬间坍塌化解为纯粹的初中代数方程，方向极度明确。
3. 避坑指南： 避坑指南 1（直接认为直径等于高的 1/2 盲目下结论）：很多基础较差的同学缺乏空间错位叠放的想象力，认为两个球在圆柱内只能像糖葫芦一样直上直下垂直排列。若垂直重叠，则 $2r+2r=9⟹4r=9⟹r=2.25$。必须明确，当圆柱的底面直径（8）大于球的直径时，球必然会朝两侧发生倾斜错位滑动，错位叠放能腾出更大的空间让球的半径实现几何增殖.

• 避坑指南 2（二次方程大数计算发生漂移）：本题中段的计算数据动辄几千（ $68^2=4624$ ），对考生的硬算纯算力要求极高。在草稿纸上算完 $4624-2320=2304$ 后，如果不确定 $2304$ 的开方，可以利用尾数拦截法：因为 $40^2=1600,50^2=2500$，说明结果在 $40$ 到 $50$ 之间，且尾数是 4，优先尝试 $42$ 或 $48$。 $48\times 48=2304$ 严格命中。填空题最后一题，绝不能在开方上功亏一篑。

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题底层源自人教 A 版必修第二册第八章《立体几何初步》中关于“简单组合体的结构特征”的课后探究思考题变体。这一数学模型在统计与工业制造中被称为**“管道内双球相切装载最优化模型”**。新高考将其放到填空压轴位置，属于用最朴素的公式（勾股定理）考查考生最顶级空间解构能力的“反套路”神作。
2. 结论推广（球体最紧密堆积与开普勒猜想的微型网络）： 将本题的模型推广为普适的二级结论：若一个圆柱容器的底面半径为 $R$，高为 $H$，内装两个半径相同的最大外切球，且球能够在圆柱内产生左右错位滑动（即满足 $2r>R\text{ 且 }2r\le 2R$ ），其通用级代数约束方程恒为： $(2R-2r{)}^2+(H-2r{)}^2=(2r{)}^2$ 我们将本题数据 $R=4⟹2R=8$， $H=9$ 直接套入该模型结论： $(8-2r{)}^2+(9-2r{)}^2=4r^2$ 这与我们【详细解析】第二步推导出的空间方程完全一模一样。未来再遇到任何模拟卷上的“圆柱装双球”问题，只需 3 秒钟将底面直径和高代入该通用公式，即可实现直接免图秒列方程，达成降维绝杀.
3. 方法推广（高维空间几何极值的泛化防线）： 本题所展现的“截面高度差与径向差”的投影思想，具有极强的跨章节迁移能力。当未来题目变异为“正四面体/正方体内切球、外接球模型”，或者是解析几何大题最后一问中出现的“空间动点到管道中心线距离的最值”问题时，其底层的代数重组技术——“把空间两点间的绝对几何距离拆解为各正交坐标轴上的分量差”，依然是破题最坚实的底层技术铠甲。

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• 13.02 外接球和内切球模型

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