02 单-集合

本题导读

本题考查集合的补集运算，重点理解集合的“补集”含义

📌 【题干】

Question

已知集合 $U=\{x|x是小于9的正整数\}$，$A=\{1，3，5\}$，则${\complement }_{U}A$中的元素个数为>()

A. $0$	B. $3$	C. $5$	D. $6$

🔍 【思路分析】

Tip

1. 化简集合 $U$：列举法确定集合 $U$ .
2. 进行补集运算：列出补集的元素.

✅ 【答案】

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C

✍ 【详细解析】

列举法（通性通法）

思路：先将描述法表示的集合 $U$ 转化为列举法，再进行补集运算。

1. 确定全集 $U$： “小于 9 的正整数”包含 $1,2,3,4,5,6,7,8$。 故 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，共 $8$ 个元素。
2. 求补集 ${\complement }_{U}A$： 已知 $A=\{1,3,5\}$，在 $U$ 中剔除这三个元素： ${\complement }_{U}A=\{2,4,6,7,8\}$。
3. 计数： 集合 $\{2,4,6,7,8\}$ 中共有 ==$5$== 个元素。 故选：C。

其他精彩解法性质法（容斥原理）

思路：利用有限集元素个数的性质：$card({\complement }_{U}A)=card(U)-card(A)$。

1. 计算 $card(U)$：从 $1$ 到 $8$ 共有 $8$ 个正整数，故 $n(U)=8$。
2. 计算 $card(A)$：已知 $A=\{1,3,5\}$，故 $n(A)=3$。
3. 求得结论：$card({\complement }_{U}A)=8-3=5$。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的交、并、补基本运算.

2. 核心方法：列举法。将抽象的描述法集合转化为具体的列举法集合，是解决离散型集合问题的最有效手段.

3. 避坑指南：

• 易错点 1（数集范围审题不清）：部分同学容易漏掉“正”字，把 $0$ 算进去；或者对“小于”理解模糊，把 $9$ 算进去。高考对这类概念字眼的考查非常严谨，务必圈阅关键词.
• 易错点 2（看错问题问法）：本题问的是“元素个数”，而不是“补集集合本身”。虽然最终选 C（个数为 5），但审题时必须养成看清是求“集合”还是求“个数/子集个数”的习惯.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中关于补集运算的课后基础练习题。作为新高考卷的常规第二题，通常与第一题的复数题交替作为整张试卷的“热身环节”.

2. 结论推广（集合的基数性质）： 若 $A\subseteq U$，且集合 $U$ 为有限集，则子集与补集的元素个数满足恒等式： $n(A)+n({\complement }_{U}A)=n(U)$ 利用该结论，本题在算出 $U$ 有 $8$ 个元素， $A$ 有 $3$ 个元素后，可直接用 $8-3=5$ 盲秒答案，进一步提高做选择题的速度.

3. 方法推广（韦恩图法）：当题目给出的集合关系更复杂（如涉及多个集合的交并补混合运算 ${\complement }_U(A\cap B)$）时，单纯靠列举法容易混乱. 此时推荐在草稿纸上画出 Venn 图（韦恩图），通过数形结合直观地划分区域，能有效避免错漏.

🔗 【关联脉络】

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• 知识锚点 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 03 单-集合 |

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