03 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线离心率的计算，核心在于掌握 $a,b,c$ 之间的数量关系及离心率公式.

📌 【题干】

Question

已知双曲线 $C$ 的虚轴长是实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，则 $C$ 的离心率为>()

A. $\sqrt{2}$	B. $2$	C. $\sqrt{7}$	D. $2\sqrt{2}$

🔍 【思路分析】

Tip

1. 转化比例关系：虚轴长为 $2b$，实轴长为 $2a$。根据题意建立 $a,b$ 的数量关系.
2. 确定基本量关系：在双曲线中，半焦距 $c$、实半轴 $a$、虚半轴 $b$ 满足 $c^2=a^2+b^2$.
3. 计算离心率：利用公式 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$ 直接求解，或先求出 $c$ 后再比值.

✅ 【答案】

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D

✍ 【详细解析】

Abstract

利用比例性质直接化简

由题意得：虚轴长 $2b=\sqrt{7}\times$ 实轴长 $2a$， 由此可得：$\frac{b}{a}=\sqrt{7}$.
双曲线的离心率公式为： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$ 代入比例关系： $e=\sqrt{1+(\sqrt{7}{)}^2}=\sqrt{1+7}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ 故选：D

其他精彩解法：待定系数法（几何化）

设实半轴长为 $a$，则虚半轴长 $b=\sqrt{7}a$。 计算半焦距 $c$： $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+7a^2}=\sqrt{8a^2}=2\sqrt{2}a$ 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}a}{a}=2\sqrt{2}$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的基本几何性质（实轴、虚轴、焦点、离心率）.
2. 核心方法：公式法与齐次化思想。在求圆锥曲线离心率时，往往不需要具体求出 $a$ 和 $c$ 的数值，只需要通过已知条件建立关于 $a,b,c$ 的齐次式（或者比例关系），即可直接求出比值 $e$.
3. 避坑指南：

• 易错点 1（公式记混）：极易将双曲线的平方关系 $c^2=a^2+b^2$ 记成椭圆的 $a^2=b^2+c^2$。如果记错，会算得 $c^2=6a^2⟹e=\sqrt{6}$（虽然选项中未设此陷阱，但仍需高度警惕）.
• 易错点 2（概念颠倒）：审题时需看清谁是谁的 $\sqrt{7}$ 倍。若是“实轴长是虚轴长的 $\sqrt{7}$ 倍”，则结果会截然不同.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第二册（或选择性必修第一册）中《双曲线的简单几何性质》的课后配套基础题。作为解析几何的传统开篇小题，考查逻辑非常纯粹，属于必拿分题目.

2. 结论推广（渐近线与离心率的关联）： 双曲线的渐近线斜率绝对值为 $\frac{b}{a}$（焦点在 $x$ 轴）或 $\frac{a}{b}$（焦点在 $y$ 轴）. 本题中，若焦点在 $x$ 轴， $\frac{b}{a}=\sqrt{7}$，即渐 近线方程为 $y=\pm \sqrt{7}x$. 离心率与渐近线斜率 $k$ 之间存在常用的转换公式：

• 当焦点在 $x$ 轴时： $e^2=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=1+k^2$

• 利用此二级结论，本题可直接化为 $e^2=1+(\sqrt{7}{)}^2=8⟹e=2\sqrt{2}$，达成秒杀.

3. 方法推广：在备考圆锥曲线离心率问题时，建议将椭圆与双曲线进行对比记忆.

• 椭圆： $a^2=b^2+c^2⟹e^2=1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$.
• 双曲线： $c^2=a^2+b^2⟹e^2=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$. 掌握这一组对称的性质，能极大地提升解析几何客观题的解题效率.

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