05 单-函数性质

本题导读

本题考查抽象函数性质的综合运用，核心在于利用偶数性和周期性将待求自变量转化到已知解析式的定义域区间内.

📌 【题干】

Question

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上且周期为 $2$ 的偶函数，当 $2\le x\le 3$ 时，$f(x)=5-2x$，则 $f(-\frac{3}{4})=$ >()

A. $-\frac{1}{2}$	B.$-\frac{1}{4}$	C. $\frac{1}{4}$	D. $\frac{1}{2}$

🔍 【思路分析】

Tip

1. 利用偶性初步转化：利用 $f(-x)=f(x)$，将负自变量转化为正数，即 $f(-\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4})$.
2. 利用周期性调整区间：已知解析式在 $[2,3]$ 上，当前的 $\frac{3}{4}$ (即 $0.75$) 不在区间内。通过加上周期的倍数 $2k$ ($k\in \mathbb{Z}$)，使其落入 $[2,3]$.
3. 代入计算：确定转化后的自变量数值，代入 $f(x)=5-2x$ 得到最终结果.

✅ 【答案】

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A

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 奇偶性转化： 因为 $f(x)$ 是偶函数，所以有 $f(-\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4})$.
2. 周期性转化： 因为 $f(x)$ 的周期 $T=2$， 所以 $f(\frac{3}{4})=f(\frac{3}{4}+2)=f(\frac{11}{4})$.
3. 区间核对与求值： 计算 $\frac{11}{4}=2.75$. 显然 $2\le 2.75\le 3$ 满足已知解析式的定义域. 将 $x=\frac{11}{4}$ 代入 $f(x)=5-2x$： $f\left(-\frac{3}{4}\right)=f\left(\frac{11}{4}\right)=5-2\times \frac{11}{4}$ $=5-\frac{11}{2}$ $=\frac{10-11}{2}=-\frac{1}{2}$

故选：A。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切型函数 $y=A\tan (\omega x+\phi )$ 的性质（对称性、周期性、单调性）.

2. 核心方法：整体代换法。将复杂的函数自变量部分整体看作一个变量，直接套用基本三角函数的公式，是解决三角函数图像性质问题（求对称轴、对称中心、单调区间）的通用方法.

3. 避坑指南：

• 易错点 1（公式记混）：误将正切函数的对称中心记为 $(k\pi ,0)$ 或与正弦函数的对称中心 $\left(k\pi ,0\right)$、对称轴混淆。必须牢记正切函数的对称中心是零点及渐近线的交点（虽然渐近线处无定义，但考虑图象的对称趋势，其对称中心相隔半个周期，故横坐标为 $\frac{k\pi }{2}$）.
• 易错点 2（忽视范围限制）：在确定 $k$ 的取值时，必须紧扣 $a>0$ 这一硬性条件，若误认为 $k$ 只能取正整数而代入 $k=1$，则会得出错选项 C.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第一册（或必修第一册）中《正切函数的诱导公式与图像性质》的经典课后习题。在新高考中属于中规中矩的三角性质考查题.

2. 结论推广（正切型函数的对称性规律）： 对于正切型函数 $y=A\tan (\omega x+\phi )+B$，其对 称中心的形式为： $\left(\frac{k\pi -2\phi }{2\omega },B\right),k\in \mathbf{Z}$ 利用此推广结论，当 $A=2,B=0,\omega =1,\phi =-\frac{\pi }{3}$ 时，直接代入可得其对称中心横坐标为 $\frac{k\pi -2(-\frac{\pi }{3})}{2\cdot 1}=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$.

3. 方法推广：三角函数的图像变换与性质密不可分。这类题目除了公式法外，还可以借助数形结合法进行直观验证。将 $y=\tan x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位即可得到本题函数（振幅拉伸不影响横坐标位置）。原图象离原点最近的右侧对称中心本在 $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$，原点 $(0,0)$ 平移后变为 $\left(\frac{\pi }{3},0\right)$。因为 $\frac{\pi }{3}>0$，所以它就是平移后距离原点最近的正横坐标对称中心.

🔗 【关联脉络】

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