06 单-平面向量坐标运算

本题导读

本题以航海学中的“视风风速”为背景，考查平面向量在速度合成中的实际应用，重点在于将物理关系准确转化为向量线性运算.

📌 【题干】

Question

帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同，单位：$m/s$）则该时刻的真风为>()

A. $轻风$	B. $微风$	C. $和风$	D. $劲风$

等级	名称	风速大小 (单位：$m/s$)
2	轻风	$[1.6,3.3]$
3	微风	$[3.4,5.4]$
4	和风	$[5.5,7.9]$
5	劲风	$[8.0,10.7]$

🔍 【思路分析】

Tip

1. 构建向量模型：

• 设视风风速向量为 ${\vec{v}}_{视}$，真风风速向量为 ${\vec{v}}_{真}$，船速向量为 ${\vec{v}}_{船}$，船行风速向量为 ${\vec{v}}_{行}$.

• 根据题意：${\vec{v}}_{视}={\vec{v}}_{真}+{\vec{v}}_{行}$。

• 又因为船行风速与船速方向相反、大小相等，即 ${\vec{v}}_{行}=-{\vec{v}}_{船}$.

• 代入得：${\vec{v}}_{视}={\vec{v}}_{真}-{\vec{v}}_{船}⟹{\vec{v}}_{真}={\vec{v}}_{视}+{\vec{v}}_{船}$.

2. 坐标化处理：通过网格图读取 ${\vec{v}}_{视}$ 和 ${\vec{v}}_{船}$ 的分量坐标.

3. 计算与对标：求出 ${\vec{v}}_{真}$ 的坐标及其模长，最后对照风力等级表得出结论.

✅ 【答案】

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A

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 确定已知向量坐标：

• 观察图表，视风风速向量 ${\vec{v}}_{视}$ 的起点为 $(3,3)$，终点为 $(0,2)$. -则 ${\vec{v}}_{视}=(0-3,2-3)=(-3,-1)$.

• 船速向量 ${\vec{v}}_{船}$ 的起点为 $(2,0)$，终点为 $(3,3)$.

• 则 ${\vec{v}}_{船}=(3-2,3-0)=(1,3)$.

2. 计算真风风速向量： ${\vec{v}}_{真}={\vec{v}}_{视}+{\vec{v}}_{船}=(-3+1,-1+3)=(-2,2)$

3. 计算真风风速大小（模长）： $|{\vec{v}}_{真}|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ 取 $\sqrt{2}\approx 1.414$，则 $|{\vec{v}}_{真}|\approx 2.828\text{ m/s}$.

4. 结论判定： 对照风力等级表，$2.828$ 位于区间 $[1.1,3.3]$ 之内，属于“轻风”. 故选：A.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量在物理速度合成中的应用、平面向量的坐标线性运算、向量的模.
2. 核心方法：坐标法。在处理实际应用题或者相对复杂的几何图形时，将抽象的向量关系映射到直角坐标系中，利用坐标进行加减乘除代数化运算，可以极大降低思维难度，避免复杂的几何画图与三角形法则推导.
3. 避坑指南：

• 易错点 1（物理文本转化错误）：题目中提到了“视风”、“真风”、“船行风”、“船速”四个概念，逻辑链条较长。部分同学由于没有耐下心来读题，容易将 ${\vec{v}}_{\text{船行}}=-{\vec{v}}_{\text{船}}$ 的正负号搞错，误列为减法导致算成 ${\vec{v}}_{\text{真}}=(1,7)⟹|\vec{v}|=\sqrt{50}\approx 7.07$（错选和风）
• 易错点 2（估算失误）：计算出 $\sqrt{18}$ 后，需要进行合理的开方估算。因为 $4.1^2=16.81$，$4.2^2=17.64$，$4.3^2=18.49$，故 $\sqrt{18}$ 约在 $4.24$ 左右，属于微风区间.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的“新情境应用题”，响应了高考评价体系中“引导学生运用所学数学知识解决生活及科学实际问题”的号召。其底层数学结构源自人教 A 版选择性必修或必修课程中《平面向量的应用——向量在物理中的应用》一节.

2. 结论推广（速度合成的相对性）： 从物理学角度来看，这实际上是运动的合成与分解（相对运动问题）.

• 真风风速是风对地面的速度（绝对速度 ${\vec{v}}_{\text{绝}}$）；

• 船速是船对地面的速度（牵连速度 ${\vec{v}}_{\text{牵}}$）；

• 视风风速是运动员在船上感受到的风速，即风对船的速度（相对速度 ${\vec{v}}_{\text{相}}$）. 根据运动学公式， ${\vec{v}}_{\text{相}}={\vec{v}}_{\text{绝}}-{\vec{v}}_{\text{牵}}$，即 ${\vec{v}}_{\text{视}}={\vec{v}}_{\text{真}}-{\vec{v}}_{\text{船}}$. 本题通过引入“船行风速”这一中间概念，用纯数学语言降低了对物理跨学科背景的硬性要求.

1. 方法推广（平行四边形法则）：除了坐标法，本题也可以直接使用向量加法的平行四边形法则或三角形法则. 以 ${\vec{v}}_{\text{视}}$ 和 ${\vec{v}}_{\text{船}}$ 为邻边作平行四边形，其对角线对应的向量即为 ${\vec{v}}_{\text{真}}$. 在无法建立坐标系或者图形较为标准时，数形结合直接求几何图形的边长也是解析向量模长的常用手段.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 ：

• 09.04 平面向量的坐标运算

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