09 多-线面关系

本题导读

本题是立体几何多选题，考查正三棱柱中的线线、线面位置关系。通过对正三棱柱对称性和垂直关系的分析，判定各选项的对错，是立体几何基础知识的综合应用.

📌 【题干】

Question

在正三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $BC$ 中点，则()

A. $A D ⊥ A_{1} C$ B. $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} D$ C. $A D // A_{1} B_{1}$ D. $C C_{1} //$ 平面 $A A_{1} D$


A. $A D ⊥ A_{1} C$	B. $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} D$	C. $A D // A_{1} B_{1}$	D. $C C_{1} //$ 平面 $A A_{1} D$

🔍 【思路分析】

Tip

分析正三棱柱特征：底面 $A BC$ 是等边三角形，侧棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}$ 垂直于底面.

逐项判定：

A项：分析 $A D$ 与 $A_{1} C$ 的关系，可通过投影或向量点积判断.

B项：寻找 $BC$ 垂直于平面 $A A_{1} D$ 内的两条相交直线.

C项：判断 $C C_{1}$ 是否平行于平面内的某条直线.

D项：观察 $A D$ 与 $A_{1} B_{1}$ 的方向是否一致.

✅ 【答案】

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BC

✍ 【详细解析】

几何综合法

思路：利用正三棱柱的性质及线面平行/垂直的判定定理逐项排查。

判定 A：取 $B_{1} C_{1}$ 中点 $D_{1}$ ，连接 $A_{1} D_{1}$ 。在正三棱柱中， $A_{1} D_{1} ⊥ C_{1} D_{1}$ 且 $A_{1} D_{1} ∥ A D$ 。若 $A D ⊥ A_{1} C$ ，则 $A_{1} D_{1} ⊥ A_{1} C$ ，在 $△ A_{1} D_{1} C$ 中这显然不成立。故 A 错误。

判定 B：

因为 $△ A BC$ 为等边三角形， $D$ 为 $BC$ 中点，所以 $A D ⊥ BC$ 。

在正三棱柱中，侧棱 $A A_{1} ⊥ 底面 A BC$ ，故 $A A_{1} ⊥ BC$ 。

又 $A D \cap A A_{1} = A$ ，且均在平面 $A A_{1} D$ 内，故 $BC ⊥ 平面 A A_{1} D$ 。故 B 正确。

判定 C：

因为 $C C_{1} ∥ A A_{1}$ ，且 $C C_{1} \neq \subset 平面 A A_{1} D$ ， $A A_{1} \subset 平面 A A_{1} D$ 。

根据线面平行的判定定理， $C C_{1} ∥ 平面 A A_{1} D$ 。故 C 正确。

判定 D：

$A D$ 与 $A B$ 相交于点 $A$ ，而 $A B ∥ A_{1} B_{1}$ 。

若 $A D ∥ A_{1} B_{1}$ ，则 $A D ∥ A B$ ，这与 $A D, A B$ 相交矛盾。故 D 错误。

故选：BC.

其他精彩解法一：

思路：建立空间直角坐标系，通过向量的数量积和方向向量进行定量计算。

建系：以 $D$ 为原点， $D C, D A, D D_{1}$ 分别为 $x, y, z$ 轴正半轴建立空间直角坐标系。

坐标表示：设 $BC = 2 a, A A_{1} = b$ ，则 $D (0, 0, 0), A (0, 3 a, 0), A_{1} (0, 3 a, b), C (a, 0, 0), B_{1} (- a, 0, b)$ 。

向量验证：

对于 A： $A D = (0, - 3 a, 0)$ ， $A_{1} C = (a, - 3 a, - b)$ 。 $A D \cdot A_{1} C = 3 a^{2} \neq = 0$ ，不垂直。

对于 B： $BC = (2 a, 0, 0)$ ，平面 $A A_{1} D$ 的法向量可取为 $n = (1, 0, 0)$ 。 $BC ∥ n$ ，故 $BC ⊥ 平面 A A_{1} D$ 。

对于 D： $A_{1} B_{1} = (- a, - 3 a, 0)$ 。 $A D$ 与 $A_{1} B_{1}$ 不共线，故不平行。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与性质、线面平行的判定、正三棱柱的几何特征.

核心方法：几何综合法（逻辑转化思想）.

证明“线线垂直（ $A D ⊥ A_{1} C$ ）” $\to$ 转化为证明“线面垂直（ $A D ⊥$ 平面 $BC C_{1} B_{1}$ ）”.

证明“线面垂直（ $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} D$ ）” $\to$ 转化为证明“平行线垂直（ $BC ⊥$ 平面 $A A_{1} D$ ）”.

避坑指南：

易错点 1（对 A 选项空间垂直直观误判）：部分同学在观察 A 选项时，由于 $A D$ 和 $A_{1} C$ 是异面直线，在空间中不相交，直观上不容易看出垂直。此时一定要严格通过“线面垂直”的性质定理来判定，切忌仅凭肉眼的空间直观去否定正确答案.

易错点 2（多选题漏选）：本题属于典型的立体几何概念辨析题，难度中等，但选项 A、B、D 均正确。在做多选题时，一定要对每一个选项都有严谨的理论支撑或反例反驳，确保不漏选.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第二册（或必修第二册）《空间点、线、面的位置关系》章节中关于正棱柱性质的经典练习题。新高考多选题第一题通常比较青睐立体几何或全称/特称命题的基础辨析，分值虽高但考查非常基础.

结论推广（正三棱柱的对称面性质）：在本题的模型中，由于 $△ A BC$ 是正三角形且 $D$ 是中点，平面 $A A_{1} D$ 实际上是该正三棱柱的一条对称面.

整个几何体关于平面 $A A_{1} D$ 左右对称.

因为 $B_{1}$ 和 $C_{1}$ 是一对对称点，所以连线 $B_{1} C_{1}$ 必然垂直于这个对称面 $A A_{1} D$ 。利用这个空间对称性的“二级结论”，可以瞬间秒杀 B 选项.

方法推广（空间直角坐标系法）：如果遇到更复杂的立体几何位置判定（例如求异面直线所成的角或线面角），几何法难以看清时，建议果断建立空间直角坐标系：

以 $D$ 为原点， $D B$ 方向为 $x$ 轴， $D A$ 方向为 $y$ 轴，过 $D$ 作底面的垂线（平行于 $A A_{1}$ ）为 $z$ 轴.

设正三角形边长为 2，棱高为 $h$ ，写出各点坐标： $D (0, 0, 0)$ ， $A (0, 3, 0)$ ， $C (- 1, 0, 0)$ ， $A_{1} (0, 3, h)$ .

计算向量： $A D = (0, - 3, 0)$ ， $A_{1} C = (- 1, - 3, - h)$ .

算数量积： $A D \cdot A_{1} C = 0 \times (- 1) + (- 3) \times (- 3) + 0 \times (- h) = 3 \neq = 0$ .

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知识锚点 ：

13.03 空间点、线、面位置关系

21.01空间向量及其运算

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