10 多-抛物线焦点弦

本题导读

本题是解析几何多选题，考查抛物线定义及焦点弦的综合性质.核心在于利用抛物线定义进行等量转化，并结合几何图形的对称性与垂直关系判定结论.

📌 【题干】

Question

已知抛物线 $C:y^2=6x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A,B$，过 $A$ 作 $l:x=-\frac{3}{2}$ 的垂线，垂足为 $D$，过 $F$ 且与直线 $AB$ 垂直的直线交 $l$ 于 $E$，则()

A. $|AD|=|AF|$	B. $|AE|=|AB|$	C. $|AB|\ge 6$	D. $|AE|\cdot |BE|\ge 18$

🔍 【思路分析】

Tip

1. 参数提取：由 $y^2=6x$ 得 $2p=6$，则 $p=3$.焦点 $F(\frac{3}{2},0)$，准线 $l:x=-\frac{3}{2}$.
2. 定义应用：$A$ 在抛物线上，$D$ 在准线上且 $AD\perp l$，根据抛物线定义直接判定 A.
3. 最值判定：利用焦点弦长公式 $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\alpha }$，当垂直于对称轴时弦长最短（通径），判定 C.
4. 几何建模：点 $E$ 在准线上且 $EF\perp AB$。通过证明 $△ADE\cong △AFE$ 等几何关系，建立 $|AE|,|BE|$ 与弦长及 $p$ 的联系.
5. 排除与计算：利用特殊位置（如 $AB$ 垂直于 $x$ 轴）排除 B，并计算 D 的最小值.

✅ 【答案】

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ACD

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 对于 A 项： 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离.点 $A$ 在抛物线上，$l$ 为准线，且 $AD\perp l$ 于 $D$，故 $|AF|=|AD|$.A 正确.

2. 对于 C 项： 过焦点的弦 $|AB|$ 的长度公式为 $|AB|=x_1+x_2+p$. 当 $AB$ 垂直于 $x$ 轴（即为通径）时，弦长最短，其值为 $2p=6$. 因此 $|AB|\ge 6$。C 正确.

3. 对于 B 项： 取特殊位置验证：当 $AB\perp x$ 轴时，$A(\frac{3}{2},3),B(\frac{3}{2},-3)$，此时 $|AB|=6$. 此时直线 $AB$ 即为 $x=\frac{3}{2}$，则 $EF$ 垂直于 $AB$ 且过 $F$，即 $EF$ 为 $x$ 轴. 点 $E$ 为 $x$ 轴与准线 $x=-\frac{3}{2}$ 的交点，即 $E(-\frac{3}{2},0)$. 计算 $|AE|=\sqrt{(\frac{3}{2}-(-\frac{3}{2}){)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$. 显然 $3\sqrt{2}\ne 6$，故 $|AE|=|AB|$ 不恒成立.B 错误.

4. 对于 D 项：由几何性质可证（利用 $AD\perp l,EF\perp AB$ 及 $|AD|=|AF|$）：$△ADE\cong △AFE$。 同理可证 $△BGE\cong △BFE$（$G$ 为 $B$ 在准线上的射影）。 由此推导得 $\angle AEB=90^{\circ }$。在直角 $△AEB$ 中，根据面积射影关系： $|AE|\cdot |BE|=|AB|\cdot |EF|$。 已知 $|AB|\ge 6$，且 $|EF|$ 是焦点 $F$ 到准线上点 $E$ 的距离，其最小值等于 $F$ 到准线的距离 $p=3$。 故 $|AE|\cdot |BE|\ge 6\times 3=18$。D 正确。

5. 故选：ACD。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的第一定义、焦点弦长的通径极值、直线与圆锥曲线联立的韦达定理应用.

2. 核心方法：特殊位置法与代数齐次化.

• 对于解析几何多选题，**通径（垂直于对称轴的焦点弦）**是最常用的特殊状态。本题中通过将直线 $AB$ 放置在通径位置，能瞬间判断出 A 和 C 的正确性，并且直接计算出 $|AE|=3\sqrt{2}\ne 6$，从而以极低的思维成本秒杀排除 B 选项.

3. 避坑指南：

• 易错点 1（准线方程看错）：题目中的准线给出的是 $x=-\frac{3}{2}$，如果公式记混把 $y^2=2px$ 对应成焦点在 $y$ 轴，整个几何模型就会错乱.
• 易错点 2（D 选项计算量过大放弃）：D 选项如果纯硬算两点距离公式，由于包含 $m,y_1,y_2$，展开会极其冗长。考场上通过通径算得边界值为 18，由于具有连续对称性，通常该状态即为最值临界点，可大胆判定其正确.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有深厚的经典欧氏几何背景。在抛物线中，**“过焦点两垂直切线的交点在准线上”以及“焦点弦在准线上的投影圆”**是非常著名的几何性质链条。本题的构建正是基于准线、焦点和垂直直线的几何调和性质演变而来.

2. 结论推广（抛物线焦点弦的二级结论网络）： 对于抛物线 $y^2=2px$ 的焦点弦 $AB$，设直线倾斜角为 $\theta$：

• 焦点弦长公式： $|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$。由此可知，当 $\sin \theta =1$（ $\theta =90^{\circ }$ ）时， $|AB|$ 取得最小值 $2p$。本题 $2p=6$，故 $|AB|\ge 6$ 瞬间得证（C 项）.
• 倒数和恒等式： $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$，这个性质在解决涉及焦半径倒数的压轴题时具有盲秒威力.
• 方法推广：在平时训练圆锥曲线多选题时，建议养成“先特值，后通法”的习惯。特值法（通径、对称位置）负责快速砍掉错误选项或验证部分猜想；通法（设 $x=my+x_0$ 联立）负责在最后阶段进行严谨的兜底论证。这种双剑合璧的解题策略是攻克新高考数学多选压轴的关键.

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