12 填-切线方程

本题导读

本题考查利用导数求曲线的切线问题，关键是设出切点.

📌 【题干】

Question

若直线 $y=2x+5$ 是曲线 $y=e^x+x+a$ 的切线，则 $a=$ ______ .

✅ 【答案】

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4

✍ 【详细解析】

导数几何意义法（通性通法）

思路：利用切点处的导数值等于切线斜率这一核心性质求解。

1. 求导数：对曲线方程 $y=e^x+x+a$ 求导，得 $y^{\prime }=e^x+1$。
2. 求切点横坐标：令切点为 $(x_0,y_0)$。由于切线 $y=2x+5$ 的斜率为 $2$，故有： $e^{x_0}+1=2⟹e^{x_0}=1⟹x_0=0$
3. 确定切点坐标：将 $x_0=0$ 代入切线方程 $y=2x+5$ 中，得： $y_0=2\times 0+5=5$ 故切点坐标为 $(0,5)$。
4. 求参数 $a$：将切点 $(0,5)$ 代入曲线方程 $y=e^x+x+a$： $5=e^0+0+a⟹5=1+a⟹a=4$
5. 结论：故答案为 $4$。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值）、指数函数的求导公式.

2.核心方法：切点中心法（方程思想）。解决所有“已知切线求参数”或“求未知切线”的问题，万变不离其宗的通法就是第一步必须设出切点 $P(x_0,y_0)$。切点是连接切线（直线性质）与曲线（代数性质）唯一的桥梁.

3. 避坑指南：

• 易错点 1（常数项求导丢错）：部分基础薄弱的同学在对曲线 $y=e^x+x+a$ 求导时，容易把常数 $a$ 误保留下来。务必牢记独立常数的导数为 0（ $(a{)}^{\prime }=0$ ）.
• 易错点 2（运算粗心）：解出 $x_0=0$ 后，代入求 $e^0$ 时，极个别同学会因为思维惯性把 $e^0$ 算成 0。高考无小事，越是基础题越需要维持高专注度.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中导数几何意义的课后必修基础习题。作为新高考填空题的第一题，考查意图非常纯粹，属于考查“基础大盘”是否扎实的送分题.

2. 结论推广（切线问题的三种常见考法）： 高考对切线问题的考查通常分为三种层次，建议在文献库中做横 向分类：

• 一类：在点处的切线。给出的点即为切点，直接求导代入即可（难度最低）

• 二类：过点处的切线。给出的点不一定是切点，必须先设切点 $(x_0,y_0)$，利用两点斜率公式 $\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}=f^{\prime }(x_0)$ 联立求解（中档难度）.

• 三类：公切线问题。一条直线同时是两个不同曲线的切线。此时需要设两个不同的切点 $\left(x_1,f(x_1)\right)$ 和 $\left(x_2,g(x_2)\right)$，通过斜率相等且方程重合列出方程组。本题属于一类与二类的变体，方向明确.

3. 方法推广：如果在后续的导数压轴大题中（如导数第一问），遇到含有未知参数的函数切线方程，处理策略依然是本题的延伸。牢记方程组： $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x_0)=k\\ f(x_0)=k{x}_0+b\end{array}$ 这个方程组是解决所有一元函数切线交点与参数控制的数学底层通式.

🔗 【关联脉络】

Multi column

知识锚点 ：

• 20.01 导数定义与几何意义 类题演练 (Links)
• 专题合集 (Series)

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