16 解-错位相减

本题导读

本题是一道数列与导数综合的解答题.第一问考查递推关系的等价变形以证明等差数列；第二问考查函数求导后的数列求和，核心在于识别“等差$\times$等比”模型并熟练运用错位相减法.

📌 【题干】

Question

已知数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1=3$， $\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$.

（1）证明：数列 $\{n{a}_n\}$ 为等差数列；

（2）给定正整数$m$, 设函数 $f(x)=a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_m{x}^m$，求 $f^{\prime }(-2)$.

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问：观察递推式特点，两边同乘以 $n(n+1)$ 即可消除分母，构建出 $b_{n+1}-b_n=d$ 的形式.
2. 第二问：

• 首先利用第一问结论求出 $a_n$ 的通项公式.
• 对 $f(x)$ 求导，得到 $f^{\prime }(x)=\sum n{a}_n{x}^{n-1}$.
• 观察导函数各项的特征，发现其系数与自变量幂次构成“等差 $\times$ 等比”结构.
• 代入 $x=-2$，使用错位相减法求出有限项的和.

✅ 【答案】

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(1)证明见解析；

（2）$f^{\prime }(-2)=\frac{7}{9}-\frac{3m+7}{9}(-2{)}^m$

✍ 【详细解析】

（1）第一问证明

最优解法：

（1）证明： 由 $\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$， 两边同乘以 $n(n+1)$，得： $(n+1)a_{n+1}=n{a}_n+1$ 即 $(n+1)a_{n+1}-n{a}_n=1$. 设 $b_n=n{a}_n$，则 $b_{n+1}-b_n=1$（常数）. 又 $b_1=1\cdot a_1=3$. 所以数列 $\{n{a}_n\}$ 是以 $3$ 为首项，$1$ 为公差的等差数列.

(2) 第二问解法

最优解法

（2）解： 由（1）可知 $n{a}_n=3+(n-1)\times 1=n+2$. 则 $f(x)={\sum }_{n=1}^m{a}_n{x}^n$， 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{m}n{a}_n{x}^{n-1}={\sum }_{n=1}^m(n+2)x^{n-1}$ 令 $S_m=f^{\prime }(-2)=3\cdot (-2{)}^0+4\cdot (-2{)}^1+5\cdot (-2{)}^2+\cdots +(m+2)\cdot (-2{)}^{m-1}$ ① 则 $-2S_m=3\cdot (-2{)}^1+4\cdot (-2{)}^2+\cdots +(m+1)\cdot (-2{)}^{m-1}+(m+2)\cdot (-2{)}^m$ ② ① - ② 得： $3S_m=3+[(-2{)}^1+(-2{)}^2+\cdots +(-2{)}^{m-1}]-(m+2)\cdot (-2{)}^m$ 中括号内为等比数列求和： $3S_m=3+\frac{-2(1-(-2{)}^{m-1})}{1-(-2)}-(m+2)(-2{)}^m$ $3S_m=3-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}(-2{)}^{m-1}-(m+2)(-2{)}^m$ $3S_m=\frac{7}{3}-\frac{1}{3}(-2{)}^m-(m+2)(-2{)}^m$ $3S_m=\frac{7}{3}-(\frac{1}{3}+m+2)(-2{)}^m=\frac{7}{3}-\frac{3m+7}{3}(-2{)}^m$ 解得： $f^{\prime }(-2)=\frac{7}{9}-\frac{3m+7}{9}(-2{)}^m$

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：用递推式证明等差数列、导数的四则运算与幂函数求导、错位相减法求和的精细化简。

2. 核心方法：错位相减法标准四步操纵律。 错位相减法是高考中公认的“运算拦路虎”。在书写大题时，务必展现清晰的结构：①列出原和式 $\to$ ②两边同乘公比并往后错开一位写出新式 $\to$ ③两式上下对齐相减 $\to$ ④中间项等比求和并小心合并尾项

3. 避坑指南：

• 易错点 1（项数与首尾项符号看错）：两式相减时，原式的最后一项 $(m+2)(-2{)}^{m-1}$ 减去新式的倒数第二项 $(m+1)(-2{)}^{m-1}$ 变为 $(-2{)}^{m-1}$，而新式的最后一项 $(m+2)(-2{)}^m$ 由于前面是减号，必须变为 $-(m+2)(-2{)}^m$。这里是高频翻车点，务必高度专注.
• 易错点 2（指数化简出错）：在化简 $2(-2{)}^{m-1}$ 时，要注意正负号变换。因为 $2=-1\times (-2)$，所以 $2\times (-2{)}^{m-1}=-(-2{)}^m$。如果在此处卡壳，会导致最终无法合并同类项.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题完美契合了人教 A 版选择性必修第二册第四章《数列》中错位相减法求和的经典例题。通过将数列与导数（多项式求导后系数退化）进行跨章节缝合，是近年新高考大题非常青睐的“多考点融合”命题风格，既考查了导数工具的基础应用，又深入测试了数列的代数功底.

2. 结论推广（错位相减法的裂项快审技巧）： 错位相减法 $\sum (An+B)q^n$ 的最终求和结果一定可以写成如下固定结构： $\text{结果}=\frac{\text{某常数}-(\text{关于 }n\text{ 的一次函数})\cdot q^n}{(1-q{)}^2}$ 本题中公比 $q=-2$，分母 $(1-q{)}^2=(1-(-2){)}^2=9$。因此，只要你最后算出来的分母是 $9$，就说明你的中间等比求和与通分方向完全正确。这一二级特征可作为考场上做完大题后快速复核的“定海神针”.

3. 方法推广：如果在未来的压轴题中，函数变成了指数型函数（如 $f(x)=x{e}^x$ ），求导后衍生出的数列往往会变成裂项相消法模型。无论题型如何变换，其核心都是利用导数作为“加工厂”，将一阶自变量转化为数列的通项系数，我们要保持“见招拆招”的数式组合敏锐度.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 :

• 19.1-等差数列
• 19.4-数列求和 类题演练 (Links)
• 专题合集 (Series)

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