05_教材优质习题（人教A版）

课本 P35

拓广探索

11. 学校举办运动会时，高一（1）班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人，只参加游泳一项比赛的有多少人 ?

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课本 P49

拓广探索

7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买 10 g 黄金，售货员先将 5 g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，再将 5 g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是小于 10 g，等于 10 g，还是大于 10 g，为什么

8. 设矩形 $ABCD$（$AB>AD$）的周长为 24 cm，把 $△ABC$ 沿 $AC$ 向 $△ADC$ 折叠，$AB$ 折过去后交 $DC$ 于点 $P$，设 $AB=x\text{cm}$，求 $△ADP$ 的最大面积及相应 $x$ 的值

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课本 P58

综合运用

5. 若 $a,b>0$，且 $ab=a+b+3$，求 $ab$ 的取值范围

拓广探索

9. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 $ABCD$ 和 $EFGH$ 构成的面积为 $200{\text{m}}^2$ 的十字形地域，计划在正方形 $MNPQ$ 上建一座花坛，造价为 $4200{\text{元/m}}^2$，在两个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 $210{\text{元/m}}^2$，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 $80{\text{元/m}}^2$，设总造价为 $S$（单位：元），$AD$ 长为 $x$（单位：m），当 $x$ 为何值时，$S$ 最小，并求出这个最小值 .

10. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济，你能把所得结论作一些推广吗?

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课本 P73

13. 函数 $f(x)=[x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，例如，$[-3.5]=-4$，$[2.1]=2$，当 $x\in (-2.5,3]$ 时，写出函数 $f(x)$ 的解析式，并画出函数的图象

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课本 P102

13. 如图，$△OAB$ 是边长为 2 的正三角形，记 $△OAB$ 位于直线 $x=t(t>0)$ 左侧的图形的面积为 $f(t)$。试求函数 $y=f(t)$ 的解析式，并画出函数 $y=f(t)$ 的图象

14. 某商场经营一批进价为 30 元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 $x$（单位：元）与日销售量 $y$（单位：件）之间有如下表所示的关系

$x$	$\dots$	30	40	45	50	$\dots$
$y$	$\dots$	60	30	15	0	$\dots$

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课本 P110

7. （1）已知 $10^m=2$，$10^n=3$，求 $10^{\frac{3m-2n}{2}}$ 的值 （2）已知 $a^{2x}=3$，求 $\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}$ 的值

8. 已知 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$，求下列各式的值 （1）$a+a^{-1}$ （2）$a^2+a^{-2}$

9. （1）当 $n=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,\dots$ 时，用计算工具计算 $(1+\frac{1}{n}{)}^n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）的值

（2）当 $n$ 越来越大时，$(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 是否也会越来越大？有没有最大值

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课本 P120

拓广探索

9. 已知函数 $y=a{\left(\frac{1}{2}\right)}^{|x|}+b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y=2$ 但又不与该直线相交 （1）求该函数的解析式，并画出图象 （2）判断该函数的奇偶性和单调性

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课本 P141

拓广探索

9. 已知 ${\log }_a\frac{1}{2}<1$，$(\frac{1}{2}{)}^a<1$，$a^{\frac{1}{2}}<1$，求实数 $a$ 的取值范围

10. 比较下列各题中三个值的大小 （1）${\log }_{0.2}6$，${\log }_{2}6$，${\log }_{0.4}6$ （2）${\log }_{2}3$，${\log }_{3}4$，${\log }_{4}5$

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课本 P155

综合运用

7. 设函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c(a>0,b,c\in \mathbf{R})$，且 $f(1)=-\frac{a}{2}$，求证：函数 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 内至少有一个零点

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课本 P156

拓广探索

13. 有一道题“若函数 $f(x)=24a{x}^2+4x-1$ 在区间 $(-1,1)$ 内恰有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围”，某同学给出了如下解答 由 $f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0$，解得 $-\frac{1}{8}<a<\frac{5}{24}$ 所以，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\frac{1}{8},\frac{5}{24}\right)$ 上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答

--- 课本 P160

（2）$2^a+1$ ____ $3^a(a>2)$

（3）已知函数 $f(x)=2^x+x$，$g(x)={\log }_{2}x+x$，$h(x)=x^3+x$ 的零点分别为 $a,b,c$，则 $a,b,c$ 的大小顺序为（） （A）$a>b>c$ （B）$b>c>a$ （C）$c>a>b$ （D）$b>a>c$

6. 设 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$，$g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$， 求证 ：（1）$[g(x){]}^2-[f(x){]}^2=1$ ； （2）$f(2x)=2f(x)g(x)$ ； （3）$g(2x)=[g(x){]}^2+[f(x){]}^2$.

7. 每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积 $S_1$。 （1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为 $S_2$，求 $S_1$ 与 $S_2$ 的比值。 （2）要使 $S_1$ 与 $S_2$ 的比值为 $0.618$，则扇子的圆心角应为几度（精确到 $1^{\circ }$）？

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课本P186

16. 化简 $\sqrt{\frac{1+\sin \alpha }{1-\sin \alpha }}-\sqrt{\frac{1-\sin \alpha }{1+\sin \alpha }}$，其中 $\alpha$ 为第二象限角。

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课本P227

例 10 如图 5.5-2，已知 $OPQ$ 是半径为 $1$，圆心角为 $\frac{\pi }{3}$ 的扇形，$C$ 是扇形弧上的动点，$ABCD$ 是扇形的内接矩形。记 $\angle POC=\alpha$，求当角 $\alpha$ 取何值时，矩形 $ABCD$ 的面积最大？并求出这个最大面积。

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课本P228

3. 已知正 $n$ 边形的边长为 $a$，内切圆的半径为 $r$，外接圆的半径为 $R$。求证 $R+r=\frac{a}{2\tan \frac{\pi }{2n}}$。

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课本P229

（6）$\frac{1+\sin 2\theta -\cos 2\theta }{1+\sin 2\theta +\cos 2\theta }=\tan \theta$。 综合运用

13. 在 $△ABC$ 中，已知 $\tan A$，$\tan B$ 是 $x$ 的方程 $x^2+p(x+1)+1=0$ 的两个实根，求 $\angle C$。

14. 在 $△ABC$ 中，$B=\frac{\pi }{4}$，$BC$ 边上的高等于 $\frac{1}{3}BC$，则 $\cos A=$（）。 （A）$\frac{3\sqrt{10}}{10}$ （B）$\frac{\sqrt{10}}{10}$ （C）$-\frac{\sqrt{10}}{10}$ （D）$-\frac{3\sqrt{10}}{10}$

15. 是否存在锐角 $\alpha$，$\beta$，使 $\alpha +2\beta =\frac{2\pi }{3}$，$\tan \frac{\alpha }{2}\tan \beta =2-\sqrt{3}$ 同时成立？若存在，求出 $\alpha$，$\beta$ 的度数；若不存在，请说明理由。

16. （1）求函数 $f(x)=\sin \left(\frac{\pi }{3}+4x\right)+\sin \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的周期和单调递增区间；

17. 你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？ $\frac{1}{2}(\sin \alpha +\sin \beta )=\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$； $\frac{1}{2}(\cos \alpha +\cos \beta )=\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$。

18. 设 $f(\alpha )={\sin }^x\alpha +{\cos }^x\alpha$，$x\in \{n\mid n=2k,k\in {\mathbf{N}}_{+}\}$。利用三角变换，估计 $f(\alpha )$ 在 $x=2,4,6$ 时的取值情况，进而猜想 $x$ 取一般值时 $f(\alpha )$ 的取值范围。

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P254

12. （1）证明 $\tan \alpha +\tan \beta =\tan (\alpha +\beta )-\tan \alpha \tan \beta \tan (\alpha +\beta )$； （2）求 $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }$ 的值； （3）若 $\alpha +\beta =\frac{3\pi }{4}$，求 $(1-\tan \alpha )(1-\tan \beta )$ 的值； （4）求 $\frac{\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\tan 120^{\circ }}{\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }}$ 的值。

13. 化简： （1）$\frac{1}{\sin 10^{\circ }}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ }}$； （2）$\sin 40^{\circ }(\tan 10^{\circ }-\sqrt{3})$； （3）$\tan 70^{\circ }\cos 10^{\circ }(\sqrt{3}\tan 20^{\circ }-1)$； （4）$\sin 50^{\circ }(1+\sqrt{3}\tan 10^{\circ })$。

14. （1）已知 $\cos \theta =-\frac{3}{5}$，$\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}$，求 $(\sin \frac{\theta }{2}-\cos \frac{\theta }{2}{)}^2$ 的值； （2）已知 $\sin \frac{\alpha }{2}-\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{5}$，求 $\sin \alpha$ 的值； （3）已知 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =\frac{5}{9}$，求 $\sin 2\theta$ 的值； （4）已知 $\cos 2\theta =\frac{3}{5}$，求 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$ 的值。

15. （1）已知 $\cos (\alpha +\beta )=\frac{1}{5}$，$\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$，求 $\tan \alpha \tan \beta$ 的值； （2）已知 $\cos \alpha +\cos \beta =\frac{1}{2}$，$\sin \alpha +\sin \beta =\frac{1}{3}$，求 $\cos (\alpha -\beta )$ 的值。

16. 证明： （1）$\cos 4\alpha +4\cos 2\alpha +3=8{\cos }^4\alpha$； （2）$\frac{1+\sin 2\alpha }{2{\cos }^2\alpha +\sin 2\alpha }=\frac{1}{2}\tan \alpha +\frac{1}{2}$； （3）$\frac{\sin (2\alpha +\beta )}{\sin \alpha }-2\cos (\alpha +\beta )=\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }$； （4）$\frac{3-4\cos 2A+\cos 4A}{3+4\cos 2A+\cos 4A}={\tan }^{4}A$。

17. 已知 $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{1}{5}$，$0⩽\alpha ⩽\pi$，求 $\sin (2\alpha -\frac{\pi }{4})$ 的值。

18. 已知 $\sin \theta +\cos \theta =2\sin \alpha$，$\sin \theta \cos \theta ={\sin }^2\beta$，求证 $4{\cos }^{2}2\alpha ={\cos }^{2}2\beta$。

19. 已知函数 $f(x)={\cos }^{4}x-2\sin x\cos x-{\sin }^{4}x$， （1）求 $f(x)$ 的最小正周期；

20. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，$P$，$Q$ 分别为边 $AB$，$DA$ 上的点。当 $△APQ$ 的周长为 $2$ 时，求 $\angle PCQ$ 的大小。

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二、必修二

P24
21. 已知 $△ABC$ 的外接圆圆心为 $O$，且 $2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|$，则向量 $\overrightarrow{BA}$ 在向量 $\overrightarrow{BC}$ 上的投影向量为（）。 (A) $\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ (B) $\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$ (C) $-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$ (D) $-\frac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$

22. 如图，$O$ 是平行四边形 $ABCD$ 外一点，用 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$ 表示 $\overrightarrow{OD}$。

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P37

15. 如图，设 $Ox$，$Oy$ 是平面内相交成 $60^{\circ }$ 角的两条数轴，$e_1$，$e_2$ 分别是与 $x$ 轴、$y$ 轴正方向同向的单位向量。若向量 $\overrightarrow{OP}=x{e}_1+y{e}_2$，则把有序数对 $(x,y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{OP}$ 在坐标系 $xOy$ 中的坐标。设 $\overrightarrow{OP}=3e_1+2e_2$， （1）计算 $|\overrightarrow{OP}|$ 的大小； （2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理。

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P39

3. 如下页图，在 $△ABC$ 中，点 $O$ 是 $BC$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $AB$，$AC$ 于不同的两点 $M$，$N$。设 $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$，求 $m+n$ 的值。

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P51 2. 如下页图，在山脚 $A$ 测得山顶 $P$ 的仰角为 $\alpha$，沿倾斜角为 $\beta$ 的斜坡向上走 $a\text{m}$ 到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得山顶 $P$ 的仰角为 $\gamma$。求证：山高 $h=\frac{a\sin \alpha \sin (\gamma -\beta )}{\sin (\gamma -\alpha )}$。

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P52

1. 若非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 满足 $\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$，且 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=-\frac{1}{2}$，则 $△ABC$ 为（）。 (A) 三边均不相等的三角形 (B) 直角三角形 (C) 底边和腰不相等的等腰三角形 (D) 等边三角形

2. 已知 $O$，$N$，$P$ 在 $△ABC$ 所在平面内，满足 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$，$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=0$，且 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$，则点 $O$，$N$，$P$ 依次是 $△ABC$ 的（）。 (A) 重心，外心，垂心 (B) 重心，外心，内心 (C) 外心，重心，垂心 (D) 外心，重心，内心

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P53

8. 如图，测量河对岸的塔高 $AB$ 时，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$。现测得 $\angle BCD=\alpha$，$\angle BDC=\beta$，$CD=s$，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $\theta$，求塔高 $AB$。

12.如图，在 $△ABC$ 中，已知 $AB=2$，$AC=5$，$\angle BAC=60^{\circ }$，$BC$，$AC$ 边上的两条中线 $AM$，$BN$ 相交于点 $P$，求 $\angle MPN$ 的余弦值。

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P54

16.在 $△ABC$ 中，求证：$c(a\cos B-b\cos A)=a^2-b^2$。

20.已知 $△ABC$ 的三个角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，设 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，求证： （1）三角形的面积 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$； （2）若 $r$ 为三角形的内切圆半径，则 $r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$； （3）把边 $BC$，$AC$，$AB$ 上的高分别记为 $h_a$，$h_b$，$h_c$，则 $h_a=\frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$， $h_b=\frac{2}{b}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$， $h_c=\frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。

22.已知 $a$，$b$，$c$ 分别为 $△ABC$ 三个内角 $A$，$B$，$C$ 的对边，且 $a\cos C+\sqrt{3}a\sin C-b-c=0$。 （1）求 $A$； （2）若 $a=2$，则 $△ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$，求 $b$，$c$。

（5）设 $M$ 是 $\square ABCD$ 的对角线的交点，$O$ 为任意一点，则 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=$（）。 （A）$\overrightarrow{OM}$ （B）$2\overrightarrow{OM}$ （C）$3\overrightarrow{OM}$ （D）$4\overrightarrow{OM}$

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P61

（3）已知 $\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，$\overrightarrow{OC}=c$，$\overrightarrow{OD}=d$，且四边形 $ABCD$ 为平行四边形，则（）。 （A）$a+b+c+d=0$ （B）$a-b+c-d=0$ （C）$a+b-c-d=0$ （D）$a-b-c+d=0$

（4）若 $e_1$，$e_2$ 是夹角为 $60^{\circ }$ 的两个单位向量，则 $a=2e_1+e_2$ 与 $b=-3e_1+2e_2$ 的夹角为（）。 （A）$30^{\circ }$ （B）$60^{\circ }$ （C）$120^{\circ }$ （D）$150^{\circ }$

（6）若平面向量 $a$，$b$，$c$ 两两的夹角相等，且 $|a|=1$，$|b|=1$，$|c|=3$，则 $|a+b+c|=$（）。 （A）$2$ （B）$5$ （C）$2$ 或 $5$ （D）$\sqrt{2}$ 或 $\sqrt{5}$

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P62 19.如图，直线 $l$ 与 $△ABC$ 的边 $AB$，$AC$ 分别相交于点 $D$，$E$。设 $\overrightarrow{AB}=c$，$\overrightarrow{BC}=a$，$\overrightarrow{CA}=b$，$\angle ADE=\theta$，请用向量方法探究 $\theta$ 与 $△ABC$ 的边和角之间的等量关系。

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P80 4. 在复数范围内解下列方程： （1）$9x^2+16=0$； （2）$x^2+x+1=0$。

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P81

8.利用公式 $a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$，把下列各式分解成一次因式的积：

（1）$x^2+4$；

（2）$a^4-b^4$。

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P95

9.已知复数 $z_1=m+(4-m^2)i$（$m\in \mathbf{R}$），$z_2=2\cos \theta +(\lambda +3\sin \theta )i$（$\lambda$，$\theta \in \mathbf{R}$），并且 $z_1=z_2$，求 $\lambda$ 的取值范围。

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P119

1.已知圆锥的表面积为 $a{\text{m}}^2$，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。

3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱 $A{A}_1=8$。若侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 水平放置时，水面恰好过 $AC$，$BC$，$A_1{C}_1$，$B_1{C}_1$ 的中点。那么当底面 $ABC$ 水平放置时，水面高为多少？

8.分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体。这3个几何体的体积之间有什么关系？

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P132

5.正方体各面所在平面将空间分成几部分？

6.如图，$△ABC$ 在平面 $\alpha$ 外，$AB\cap \alpha =P$，$BC\cap \alpha =Q$，$AC\cap \alpha =R$，求证：$P$，$Q$，$R$ 三点共线。

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P144

12 一木块如图所示，点 $P$ 在平面 $VAC$ 内，过点 $P$ 将木块锯开，使截面平行于直线 $VB$ 和 $AC$，在木块表面应该怎样画线？

15.如图，透明塑料制成的长方体容器 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 内灌进一些水，固定容器底面一边 $BC$ 于地面上，再将容器倾斜。随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面 $EFGH$ 所在四边形的面积为定值； （4）棱 $A_1{D}_1$ 始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，$BE\cdot BF$ 是定值。 其中所有正确命题的序号是________，为什么？

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P152 4.过 $△ABC$ 所在平面 $\alpha$ 外一点 $P$，作 $PO\perp \alpha$，垂足为 $O$，连接 $PA$，$PB$，$PC$。 （1）若 $PA=PB=PC$，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的____心； （2）若 $PA=PB=PC$，$\angle C=90^{\circ }$，则点 $O$ 是 $AB$ 边的____点； （3）若 $PA\perp PB$，$PB\perp PC$，$PC\perp PA$，垂足都为 $P$，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的____心。

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P162 1.选择题 （1）若空间中四条不同的直线 $l_1$，$l_2$，$l_3$，$l_4$ 满足 $l_1\perp l_2$，$l_2\perp l_3$，$l_3\perp l_4$，则下面结论正确的是（）。 （A）$l_1\perp l_4$ （B）$l_1\parallel l_4$ （C）$l_1$，$l_4$ 既不垂直也不平行 （D）$l_1$，$l_4$ 的位置关系不确定 2.判断下列命题是否正确，正确的在括号 内画“√”，错误的画“×”。 （1）过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直。（） （2）过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行。（） （3）过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直。（） （4）过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行。（） （5）过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（）

15.如图，在正方形 $S{G}_1{G}_2{G}_3$ 中，$E$，$F$ 分别是 $G_1{G}_2$，$G_2{G}_3$ 的中点，$D$ 是 $EF$ 的中点。若沿 $SE$，$SF$ 及 $EF$ 把这个正方形折成一个四面体，使 $G_1$，$G_2$，$G_3$ 三点重合，重合后的点记为 $G$，则在四面体 $S-EFG$ 中，哪些棱与面互相垂直？

19.如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$A{A}_1=AB$，求证 $A_{1}C\perp A{B}_1$。

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P169

4.如图，一块边长为 $10\text{cm}$ 的正方形铁片上有四块阴影部分。将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积 $V$（单位：${\text{cm}}^3$）表示为 $x$（单位：$\text{cm}$）的函数。

5.三个平面可将空间分成几部分？请分情况说明。

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P170

8. 如图，一块正方体形木料的上底面有一点 $E$。若经过点 $E$ 在上底面上画一条直线与 $CE$ 垂直，则应该怎样画？

9.如图，在边长为 $2$ 的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AB$ 的中点，点 $F$ 是 $BC$ 的中点，将 $△AED$，$△BEF$，$△DCF$ 分别沿 $DE$，$EF$，$DF$ 折起，使 $A$，$B$，$C$ 三点重合于点 $A^{\prime }$。

（1）求证 $A^{\prime }D\perp EF$； （2）求三棱锥 $A^{\prime }-EFD$ 的体积。

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P171

12.如上页图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，求证：

（1）$B_{1}D\perp$ 平面 $A_{1}B{C}_1$；

（2）$B_{1}D$ 与平面 $A_{1}B{C}_1$ 的交点 $H$ 是 $△A_1{C}_{1}B$ 的重心。

16.已知 $m$，$n$ 为异面直线，$m\perp$ 平面 $\alpha$，$n\perp$ 平面 $\beta$。若直线 $l$ 满足 $l\perp m$，$l\perp n$，$l\not\subset \alpha$，$l\not\subset \beta$，则（）。

（A）$\alpha \parallel \beta$，$l\parallel \alpha$ （B）$\alpha$ 与 $\beta$ 相交，且交线平行于 $l$ （C）$\alpha \perp \beta$，$l\perp \beta$ （D）$\alpha$ 与 $\beta$ 相交，且交线垂直于 $l$

184

3.高二年级有男生 $490$ 人，女生 $510$ 人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为 $170.2\text{cm}$ 和 $160.8\text{cm}$。 （1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为 $100$，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高。 （2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为 $30$ 和 $70$，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？

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P214

5.某学校有高中学生 $500$ 人，其中男生 $320$ 人，女生 $180$ 人。有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：$\text{cm}$），计算得男生样本的均值为 $173.5$，方差为 $17$，女生样本的均值为 $163.83$，方差为 $30.03$。 （1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？ （2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？ （3）如果已知男、女的样本量都是 $25$，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？

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P222

2.四名同学各掷骰子 $5$ 次，分别记录每次骰子出现的点数。根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数 $6$ 的是（）。 （A）平均数为 $3$，中位数为 $2$ （B）中位数为 $3$，众数为 $2$ （C）平均数为 $2$，方差为 $2.4$ （D）中位数为 $3$，方差为 $2.8$

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P223

11.为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了 $200$ 户居民去年一年的月均用电量（单位：$\text{kW}\cdot \text{h}$），数据从小到大排序如下： $8,18,22,31,42,48,49,50,51,56,57,57,60,61,61,$ $61,62,62,63,63,65,66,67,69,70,70,71,72,72,74,$ $76,77,77,78,78,80,80,82,82,82,83,84,84,88,88,$ $89,90,91,93,93,94,95,96,96,96,97,98,98,98,99,$ $100,100,100,101,101,101,105,106,106,106,107,107,107,108$ $108,109,109,110,110,110,110,111,112,113,113,114,115,116,118,120$ $120,120,121,123,124,127,127,127,130,130,130,131,131,132,132,132$ $132,133,133,134,134,134,135,135,135,135,136,137,137,138,139,139$ $139,140,141,142,144,146,146,147,148,149,151,152,154,156,159,160$ $160,162,163,163,164,165,167,169,170,170,174,174,177,177,178,180$ $182,182,187,189,191,191,192,194,194,200,201,201,202,203,203,206$ $208,212,213,214,216,223,224,237,247,250,250,251,253,254,258,260$ $265,274,274,283,288,289,304,319,320,324,339,462,498,530,542,626$ 为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使$75\%$的居民缴费在第一档，$20\%$的居民缴费在第二档，其余$5\%$的居民缴费在第三档。请确定各档的范围。

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P244

11.某人有$4$把钥匙，其中$2$把能打开门。如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？

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P249 1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件$A=$“第1枚正面朝上”，事件$B=$“第2枚正面朝上”，事件$C=$“2枚硬币朝上的面相同”，$A$，$B$，$C$中哪两个相互独立？ 2. 设样本空间$\Omega =\{a,b,c,d\}$含有等可能的样本点，且$A=\{a,b\}$，$B=\{a,c\}$，$C=\{a,d\}$。请验证$A$，$B$，$C$三个事件两两独立，但$P(ABC)\ne P(A)P(B)P(C)$。

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P250

2.假设$P(A)=0.7$，$P(B)=0.8$，且$A$与$B$相互独立，则$P(AB)=$，$P(A\cup B)=$。

3.若$P(A)>0$，$P(B)>0$，证明：事件$A$，$B$相互独立与$A$，$B$互斥不能同时成立。

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P264

5.一个袋子中有$4$个红球，$6$个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出$2$个球。 （1）求第二次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率； （3）如果是$4$个红球，$n$个绿球，已知取出的$2$个球都是红球的概率为$\frac{1}{6}$，那么$n$是多少？

三 选择性必修一

3.如图，在平行六面体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中，$AB=4$，$AD=3$，$A{A}^{\prime }=5$，$\angle BAD=90^{\circ }$，$\angle BA{A}^{\prime }=\angle DA{A}^{\prime }=60^{\circ }$，求： （1）$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AB}$； （2）$A{B}^{\prime }$ 的长； （3）$A{C}^{\prime }$ 的长。

4.如图，已知四面体 $ABCD$ 的所有棱长都等于 $a$，$E$，$F$，$G$ 分别是棱 $AB$，$AD$，$DC$ 的中点。 求： （1）$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$； （2）$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{DB}$； （3）$\overrightarrow{GF}\cdot \overrightarrow{AC}$； （4）$\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{BC}$； （5）$\overrightarrow{FG}\cdot \overrightarrow{BA}$； （6）$\overrightarrow{GE}\cdot \overrightarrow{GF}$。

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P10

10.如图，在四面体 $OABC$ 中，$OA=OB$，$CA=CB$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $OA$，$OB$，$BC$，$CA$ 的中点。求证：四边形 $EFGH$ 是矩形。

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P14

1.已知四面体 $OABC$，$OB=OC$，$\angle AOB=\angle AOC=\theta$。求证：$OA\perp BC$。