03.02 均值不等式与柯西不等式

🟦 均值不等式与柯西不等式全攻略

核心心法

“和定积最大，积定和最小”。基本不等式是解决最值问题的基石，而柯西不等式（及其衍生的权方和不等式）则是处理分式和高次幂和式的利器。解题的关键在于通过“凑、拆、补”使各项乘积或加和转化为定值。

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一、 两个核心不等式

1. 重要不等式

$a^2+b^2\ge 2ab$ （$a,b\in \mathbb{R}$）

• 当且仅当 $a=b$ 时等号成立。

2. 基本不等式 (均值不等式)

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ （$a,b>0$）

• 三大门槛：【一正、二定、三相等】。
• 基本不等式与重要不等式的异同：
  • （1）取值范围不同：重要不等式中 $a,b$ 为全体实数；基本不等式中 $a,b$ 必须都是正实数。
  • （2）等号成立条件相同：当且仅当 $a=b$ 时取等号。

3. 常用变形关系

① $ab\le \frac{a^2+b^2}{2}$（积与平方和） ② $a+b\ge 2\sqrt{ab}$（和与积） ③ $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$（积与和） ④ $a^2+b^2\ge \frac{(a+b{)}^2}{2}$（平方和与和） ⑤ $a+b\le \sqrt{2(a^2+b^2)}$（和与平方和）

已知 $x>0,y>0$，则：

• ① 如果积 $xy$ 是定值 $p$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值是 $2\sqrt{p}$。
• ② 如果和 $x+y$ 是定值 $S$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值是 $\frac{S^2}{4}$。
• 口诀：“一正（各项均为正），二定（积或和为定值），三相等（等号能否取得）”。

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二、 常规凑配技巧与模型

1. 结构化凑配

• ① $mx+\frac{n}{x}\ge 2\sqrt{mn}$ ($m>0,n>0$)，当且仅当 $x=\sqrt{\frac{n}{m}}$ 时等号成立。
• ② $mx+\frac{n}{x-a}=m(x-a)+\frac{n}{x-a}+ma\ge 2\sqrt{mn}+ma$ ($m>0,n>0$)，当且仅当 $x-a=\sqrt{\frac{n}{m}}$ 时等号成立。
• ③ $\frac{x}{a{x}^2+bx+c}=\frac{1}{ax+b+\frac{c}{x}}\le \frac{1}{2\sqrt{ac}+b}$ ($a>0,c>0$)，当且仅当 $x=\sqrt{\frac{c}{a}}$ 时等号成立。
• ④ $x(n-mx)=\frac{mx(n-mx)}{m}\le \frac{1}{m}\cdot {\left(\frac{mx+n-mx}{2}\right)}^2=\frac{n^2}{4m}$ ($m,n,x$ 限制同原题)。

2. 等式转化模型

若出现 $m(a+b)+nab=c$ ($a,b,m,n,c\in {\mathbb{R}}^{+}$)：

• 因为 $a+b\ge 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le \frac{(a+b{)}^2}{4}$，可以转化为 $2m\sqrt{ab}+nab\le c$ 或 $m(a+b)+n\frac{(a+b{)}^2}{4}\ge c$，从而求出 $a+b$ 及 $ab$ 的取值范围。
• 若求 $ma+nb$ 范围，先因式分解为 $(a+x)(b+y)=z$ 形式，再用基本不等式或柯西不等式分析。

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三、 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality)

二元式：设 $a,b,c,d\in {\mathbb{R}}^{+}$，有 $(a+b)(c+d)\ge (\sqrt{ac}+\sqrt{bd}{)}^2$，当且仅当 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ 时等号成立。

1. 权方和不等式模型

由 $(a+b)(\frac{m}{a}+\frac{n}{b})\ge (\sqrt{m}+\sqrt{n}{)}^2$ 变形得： $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge \frac{(a+b{)}^2}{x+y}$ （$a,b,x,y>0$） 同理：$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{x+y+z}$。

2. 一高一低和式配凑

已知 $x^2+y^2$ 求 $x+y$；或已知 $x+y$ 求 $2x^2+3y^2$ 最值： $(x^2+y^2)(m^2+n^2)\ge (mx+ny{)}^2$ 例如：$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}$。

3. 同次积式配凑

已知 $xy$ 的值，利用 $(x+m)(y+n)\ge (\sqrt{xy}+\sqrt{mn}{)}^2$ 求最值。

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四、 基本不等式的拓展与应用

1. 拓展结论

• 当 $a,b<0$ 时，$a+b\le -2\sqrt{ab}$。
• $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2$ ($ab>0$)；$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\le -2$ ($ab<0$)。
• $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$。
• $a^4+b^4+c^4\ge a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2$。

2. “1”的代换技巧

① 已知 $ax+by=1$，求 $z=\frac{c}{x}+\frac{d}{y}$ 最小值。 ② 已知 $\frac{c}{x}+\frac{d}{y}=1$，求 $z=ax+by$ 最小值。

3. 对勾函数 $y=x+\frac{k}{x}$ ($k>0$)

当基本不等式等号不成立时，利用对勾函数的单调性求解。

4. “整式+分式”型凑配技巧

关键是将“整式”凑成与“分式”分母相同。包含：

• $y=ax+b+\frac{k}{cx+d}$
• $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$，令 $t=mx+n$ 换元。
• $y=f(x)+\frac{k}{f(x)}$（$f(x)$ 为根式、对数、三角等）。

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五、 均值不等式链与推广

1. 均值不等式链 (The Power Mean Inequality Chain)

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ 即：调和均值 $\le$ 几何均值 $\le$ 算术均值 $\le$ 平方均值。

2. 推广形式

• 指数推广：$\frac{a^n+b^n}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n$ ($a,b>0$)。
• 项数推广：$\frac{\sum a_i^2}{n}\ge {\left(\frac{\sum a_i}{n}\right)}^2$。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

“二定”是前提

在使用基本不等式前，一定要检查变量之和或之积是否为常数。如果不是常数，尝试通过消元、代换或“1的代换”来构造定值。

“三相等”是成败关键

必须保证每一次使用不等式时，等号成立的条件可以同时满足。

分子常数化

如果分式的分子含变量，则必须先通过除法或拆项使分子常数化，再利用基本不等式。