09.03 平面向量的数量积

🟦 平面向量的数量积 (Scalar Product of Vectors)

核心心法

数量积（内积）是向量运算中唯一的“降维”运算，其结果是一个标量（数量）。它是处理向量垂直、夹角、投影以及模长问题的核心工具。

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一、 向量的夹角

1. 定义

已知非零向量 $\vec{a},\vec{b}$，作 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则 $\angle AOB=\theta$（$0^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$）叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

2. 特殊情况

• 当 $\theta =0^{\circ }$ 时，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向；
• 当 $\theta =180^{\circ }$ 时，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向；
• 当 $\theta =90^{\circ }$ 时，$\vec{a}\perp \vec{b}$。

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二、 向量的数量积定义

1. 数量积公式

已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$，它们的夹角为 $⟨\vec{a},\vec{b}⟩=\theta$，则数量积定义为： $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 规定：$\vec{0}\cdot \vec{a}=0$。

2. 投影向量

向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为： $|\vec{b}|\cos \theta \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

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三、 数量积的性质与运算律

1. 数量积的性质（设 $\vec{a},\vec{b}$ 为非零向量）

• (1) 垂直：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟺|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$。
• (2) 同向/反向：
  • 同向时，$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$；
  • 反向时，$\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|$。
  • 特别地：$\vec{a}\cdot \vec{a}={\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$，或 $|\vec{a}|=\sqrt{{\vec{a}}^2}$。
• (3) 柯西不等式：$|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$。

2. 运算性质

• (1) 交换律：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$
• (2) 数乘结合律：$(\lambda \vec{a})\cdot \vec{b}=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})=\vec{a}\cdot (\lambda \vec{b})$
• (3) 分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$

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四、 数量与向量的转化（平方法技巧）

• ① 求模：利用 $|\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}|=\sqrt{(\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}{)}^2}$ 计算向量的模。
• ② 逆用公式：已知 $|\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}|=p$，平方后展开可求数量积、夹角，或构造几何图形求解。
• ③ 零和向量处理：对于 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，可通过移项平方或同乘其中一个向量，求某个向量的模，或某两个向量的夹角。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

数量积的“消去律”不存在

一般情况下，$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 不能推导出 $\vec{b}=\vec{c}$。 实际上，由 $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$ 只能说明 $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$，而不能说明括号内为零。同时也要注意 $(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}\ne \vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c})$，因为前者方向与 $\vec{c}$ 共线，后者方向与 $\vec{a}$ 共线。

夹角的判定——“共起点”原则

计算 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$ 时，两向量不是共起点的。必须转化为 $-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$，此时夹角才是 $△ABC$ 的内角（或其补角）。

投影的几何意义

数量积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 几何上等于 $|\vec{a}|$ 与 “$\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的射影数量” 的乘积。在解决动点轨迹或三角形投影问题时，直接观察几何投影往往比代数计算更快。

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