🟦 中线模型与衍生恒等式 (Median Models & Identities)

核心心法

“中线倍长，化积为方”。中线是三角形中最重要的辅助线之一。通过向量的加法法则，可以将中线长度转化为两邻边的线性组合；通过平行四边形的对称性，可以导出中线恒等式与极化恒等式，从而将线段的平方和、数量积与中线模长建立直接联系。

1. 中线长度模型 (Vector Form)

在 $△ A BC$ 中，已知 $A B = c, A C = b, ∠ B A C = θ$ ， $A D$ 为 $BC$ 边上的中线：

向量表示： $A D = \frac{1}{2} (A B + A C)$
长度公式： $∣ A D ∣ = \frac{1}{2} (A B + A C)^{2} = \frac{1}{2} b^{2} + c^{2} + 2 b c cos θ$

已知 $△ A BC$ 的三边长分别为 $a, b, c$ ，中线 $A D$ 的长可用平行四边形性质（四边平方和等于对角线平方和）解决：

利用余弦定理的互补角性质：设 $A B = c, A C = b, A D = m, B D = C D = n$

{b^{2} = m^{2} + n^{2} - 2 mn cos ∠ A D C c^{2} = m^{2} + n^{2} - 2 mn cos (π - ∠ A D C)

两式相加（因 $cos (π - θ) = - cos θ$ ）： $b^{2} + c^{2} = 2 (m^{2} + n^{2}) = 2 (A D^{2} + (\frac{a}{2})^{2})$ 整理即得： $2 (b^{2} + c^{2}) = a^{2} + 4 A D^{2}$

已知 $△ A BC$ 的三边长分别为 $a, b, c$ ， $BC$ 边上的中线为 $A D$ ，则：

$A B \cdot A C = (A D + D B) \cdot (A D + D C) = (A D + D B) \cdot (A D - D B) = ∣ A D ∣^{2} - ∣ D B ∣^{2}$

$P$ 为矩形 $A BC D$ 外一点，则：

设矩形中心为 $O$ ，在 $△ P A C$ 和 $△ PB D$ 中，分别对中线 $PO$ 使用中线恒等式：

{P A^{2} + P C^{2} = 2 (P O^{2} + O A^{2}) P B^{2} + P D^{2} = 2 (P O^{2} + O D^{2})

由于矩形对角线相等且互相平分，故 $O A = O D$ ，从而： $P A^{2} + P C^{2} = P B^{2} + P D^{2}$

“看到中点想极化”

只要题目中出现“中点”以及“向量数量积”，首选极化恒等式。它能将两个向量的夹角问题转化为单条线段（中线）的长度变化问题，极大简化运算。

中线恒等式的系数

记住结论时，注意 $2 (b^{2} + c^{2})$ 中的系数 $2$ 。如果是求中线长度，根号内的形式是“两邻边平方和的两倍减去底边的平方”。

矩形大法的广义性

矩形大法对平面内、平面外甚至空间中的任意一点 $P$ 均成立。在三维坐标系中处理点到长方体顶点距离时，这也是一个非常隐蔽的检查工具。