🟦 百分位数与四分位数 (Percentiles & Quartiles)

核心心法

“位置决定数值”。百分位数是刻画数据分布特征的重要指标，它不仅反映了数据的集中趋势，更体现了数据在整体中的相对排位。通过将数据“切片”，我们可以直观地观察到不同比例段的数据水平。

一、第 $p$ 百分位数的概念

一般地，一组数据的第 $p$ 百分位数是这样一个值，它满足：

对于一组包含 $n$ 个数据的样本，计算第 $p$ 百分位数的步骤如下：

第一步：排序 将原始数据按从小到大的顺序排列。
第二步：计算指数 $i$ 利用公式计算位置指数： $i = n \times p %$ 。
第三步：判定取值
- 情况 A：若 $i$ 不是整数，记大于 $i$ 的比邻整数为 $j$ ，则第 $p$ 百分位数为第 $j$ 项数据。
- 情况 B：若 $i$ 是整数，则第 $p$ 百分位数为第 $i$ 项与第 $(i + 1)$ 项数据的平均数。

四分位数是将一组数据等分为四部分的三个数值点：

整数判定是核心

很多同学在 $i$ 是整数时直接取第 $i$ 项，这是错误的。请记住：整数取均值，小数向上取。例如 $i = 3.1$ 取第 4 项， $i = 3$ 则取第 3、4 项的平均数。

中位数的两种求法

注意百分位数求法与传统初中中位数求法（奇数取中间，偶数取平均）在逻辑上是完全统一的。当 $p = 50$ 时，套用上述三步走法则所得结果与传统中位数定义一致。

百分位数的应用背景

在大型考试（如高考、SAT）中，百分位数常用来表示考生的相对排位。如果你处在第 90 百分位数，意味着你超过了 90% 的考生。