17.02 阿波罗尼斯圆

🟦 阿波罗尼斯圆 (Apollonian Circle)

核心心法

“定点定比，圆现其中”。阿波罗尼斯圆是解析几何中极具美感的一类曲线。它揭示了距离之比为常数的点轨迹特征。其核心价值在于它与内、外角平分线的深度关联，以及由此引申出的反演性质 $OA\cdot OB=r^2$，这为处理涉及三角形边长比例的几何最值问题提供了终极工具。

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1. 定义与代数推导

(1) 基本定义

平面内到两个定点 $A,B$ 距离之比为常数 $\lambda$ ($\lambda >0,\lambda \ne 1$) 的点 $P$ 的轨迹是圆，称为**“阿氏圆”**。

• 当 $\lambda =1$ 时，点 $P$ 的轨迹是线段 $AB$ 的垂直平分线。

(2) 坐标推导

设 $A(-c,0),B(c,0)$ ($c>0$)，$P(x,y)$，由 $\frac{|PA|}{|PB|}=\lambda$ 得： $\frac{\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}}{\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}}=\lambda$ 整理得：$(1-{\lambda }^2)x^2+2c(1+{\lambda }^2)x+c^2(1-{\lambda }^2)+(1-{\lambda }^2)y^2=0$

• ① 当 $\lambda \ne 1$ 时： 轨迹方程为：$(x-\frac{{\lambda }^2+1}{{\lambda }^2-1}c{)}^2+y^2=(\frac{2\lambda c}{{\lambda }^2-1}{)}^2$
  • 圆心：$(\frac{{\lambda }^2+1}{{\lambda }^2-1}c,0)$
  • 半径：$r=\left|\frac{2\lambda c}{{\lambda }^2-1}\right|$
• ② 当 $\lambda =1$ 时： 化简得 $x=0$，即 $P$ 的轨迹为 $y$ 轴。

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2. 核心几何结论

设 $C,D$ 分别为线段 $AB$ 及其延长线上满足比例的内分点和外分点（即 $△APB$ 的内、外角平分线与 $AB$ 所在直线的交点）：

• (1) 调和点列：$A,C,B,D$ 四点构成调和点列。
• (2) 角平分线性质：$PC,PD$ 分别为 $\angle APB$ 的内、外角平分线。
• (3) 垂直关系：$PC\perp PD$（因为内、外角平分线互相垂直）。
• (4) 反演关系 (核心)：若圆心为 $O$，则 $OA\cdot OB=r^2$。点 $A,B$ 关于圆互为反演点。

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3. 常用计算公式

已知定点 $A,B$ 及定比 $\lambda =\frac{PA}{PB}$，设圆心为 $O$，半径为 $r$：

• (1) 比例等价式： $\frac{PA}{PB}=\frac{OA}{r}=\frac{r}{OB}=\lambda$
• (2) 半径显式公式： $r=\left|\frac{AB}{\lambda -\frac{1}{\lambda }}\right|$

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4. 隐藏的阿氏圆 (模型识别)

三角形定比边模型

若在三角形问题中出现：$b=\lambda a$ ($\lambda \ne 1$) 且边 $c$ 为定值，则顶点 $C$ 的轨迹即为以 $A,B$ 为定点的阿波罗尼斯圆。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

利用反演关系秒杀最值

在求 $PA+\mu PB$ 形式的最值时，若 $\mu \ne 1$，往往暗示了阿氏圆背景。利用 $PA=\lambda PB$ 或反演变换，可以将两条线段的和转化为一条折线，从而利用“三点共线”原理求解。

比例的方向性

在套用半径公式 $r=|\frac{AB}{\lambda -1/\lambda }|$ 时，请务必确认 $\lambda$ 的定义是 $PA/PB$ 还是 $PB/PA$。虽然加了绝对值结果一致，但在定位圆心位置（偏向 $A$ 还是偏向 $B$）时，$\lambda$ 与 $1$ 的大小关系至关重要。

角平分线作为突破口

很多题目不直接给出比例，而是给出“$\angle APC=\angle BPC$”。根据角平分线定理 $\frac{PA}{PB}=\frac{AC}{BC}$，这立刻就能锁定点 $P$ 处于阿氏圆上。