20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

🟦 基本初等函数导数公式与运算法则

核心心法

“公式是基石，法则是灵魂”。导数计算是整个微积分的底层逻辑。熟练记忆 8 类基本初等函数的求导公式是第一步，而灵活运用积、商法则以及复合函数“由外向内”的链式法则，则是解决复杂函数求导问题的关键。

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1. 基本初等函数导数公式表

函数类型	函数表达式 $f(x)$	导数表达式 $f^{\prime }(x)$	备注
常数函数	$C$	$0$	$(C{)}^{\prime }=0$
幂函数	$x^{\alpha }$	$\alpha x^{\alpha -1}$	特例：$(x{)}^{\prime }=1,(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
正弦函数	$\sin x$	$\cos x$	$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
余弦函数	$\cos x$	$-\sin x$	$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
指数函数	$a^x$	$a^x\ln a$	特例：$(e^x{)}^{\prime }=e^x$
对数函数	${\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\ln a}$	特例：$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

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2. 导数的运算法则 (Rules of Differentiation)

设 $f(x),g(x)$ 均为可导函数：

• ① 和差法则：$[f(x)\pm g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$
• ② 积法则：$[f(x)\cdot g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$
  • 推论：$[cf(x){]}^{\prime }=c{f}^{\prime }(x)$ （常数倍法则）
• ③ 商法则：${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}(g(x)\ne 0)$

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3. 复合函数求导法则 (The Chain Rule)

对于复合函数 $y=f(g(x))$，设中间变量 $u=g(x)$，则 $y=f(u)$。其导数关系为： $y_x^{\prime }=y_u^{\prime }\cdot u_x^{\prime }$

口诀：由外向内，层层剥开

求导时先对外部函数 $f(u)$ 求导，再乘以内部函数 $g(x)$ 的导数，最后将所有的中间变量 $u$ 替换回自变量 $x$ 的表达式。

示例解析： 求 $f(x)=\ln (x^2+2x+3)$ 的导数：

1. 设 $y=\ln u$，$u=x^2+2x+3$。
2. $y_u^{\prime }=\frac{1}{u}$，$u_x^{\prime }=2x+2$。
3. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{u}\cdot (2x+2)=\frac{2x+2}{x^2+2x+3}$。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

公式不能直接套用变量

公式表中的 $x$ 是独立自变量。如果遇到 $\ln |x|$ 或 $\sin (2x)$，必须使用复合函数求导法则，不能直接写成 $1/|x|$ 或 $\cos (2x)$。 注：$(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ 是一个特殊的常用结论。

商法则的分子符号

在使用 ${\left[\frac{f}{g}\right]}^{\prime }$ 时，分子是 “上导下不导 减 去下导上不导”。很多学生容易把减号前后的顺序写反，导致结果正负颠倒。

化简优先原则

在对复杂对数函数（如 $\ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$）求导前，先利用对数性质将其化为 $\frac{1}{2}[\ln (x+1)-\ln (x-1)]$，再进行求导，计算量会减小 80%。