20.06 导数构造函数逆向还原专题

🟦 导数构造函数逆向还原专题

核心心法

“见和设积，见差设商，指数对数找对仗”。导数构造的核心在于识别“乘法法则”与“除法法则”的逆运算。通过将杂乱的导数不等式还原为某个母函数的导数，利用该母函数的单调性，即可实现不等式的跨界转化与比较。

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1. 五大核心还原定理 (Reverse Theorems)

定理 1：与 $xf(x)$、$\frac{f(x)}{x}$ 相关

• 和型：$x{f}^{\prime }(x)+f(x)>0⟺[xf(x){]}^{\prime }>0⟹y=xf(x)$ 递增。
• 差型：$x{f}^{\prime }(x)-f(x)>0⟺{\left[\frac{f(x)}{x}\right]}^{\prime }>0⟹y=\frac{f(x)}{x}$ 递增。

定理 2：与 $x^{n}f(x)$、$\frac{f(x)}{x^n}$ 相关 ($x>0$)

• 和型：$x{f}^{\prime }(x)+nf(x)>0⟺[x^{n}f(x){]}^{\prime }>0⟹y=x^{n}f(x)$ 递增。
• 差型：$x{f}^{\prime }(x)-nf(x)>0⟺{\left[\frac{f(x)}{x^n}\right]}^{\prime }>0⟹y=\frac{f(x)}{x^n}$ 递增。

定理 3：与 $e^{x}f(x)$、$\frac{f(x)}{e^x}$ 相关

• 和型：$f^{\prime }(x)+f(x)>0⟺[e^{x}f(x){]}^{\prime }>0⟹y=e^{x}f(x)$ 递增。
• 差型：$f^{\prime }(x)-f(x)>0⟺{\left[\frac{f(x)}{e^x}\right]}^{\prime }>0⟹y=\frac{f(x)}{e^x}$ 递增。

定理 4：含常数项 $a$ 的指数型还原

• 和型：$f^{\prime }(x)+f(x)>a⟺[e^x(f(x)-a){]}^{\prime }>0⟹y=e^x(f(x)-a)$ 递增。
• 差型：$f^{\prime }(x)-f(x)>a⟺{\left[\frac{f(x)+a}{e^x}\right]}^{\prime }>0⟹y=\frac{f(x)+a}{e^x}$ 递增。

定理 5：与三角函数相关的还原

• $\sin x$ 和型：$\sin x{f}^{\prime }(x)+\cos xf(x)>0⟺[\sin xf(x){]}^{\prime }>0$
• $\sin x$ 差型：$\sin x{f}^{\prime }(x)-\cos xf(x)>0⟺{\left[\frac{f(x)}{\sin x}\right]}^{\prime }>0$
• $\cos x$ 和型：$\cos x{f}^{\prime }(x)-\sin xf(x)>0⟺[\cos xf(x){]}^{\prime }>0$
• $\cos x$ 差型：$\cos x{f}^{\prime }(x)+\sin xf(x)>0⟺{\left[\frac{f(x)}{\cos x}\right]}^{\prime }>0$

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2. 构造函数速查表 (18 类常用模型)

序号	导数不等式特征	构造母函数 $F(x)$
1	$f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)\gtrless 0$	$f(x)\pm g(x)$
2	$f^{\prime }(x)\gtrless k$ ($k\ne 0$)	$f(x)-kx$
3	$f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\gtrless 0$	$f(x)g(x)$
4	$x{f}^{\prime }(x)+f(x)\gtrless 0$	$xf(x)$
5	$f^{\prime }(x)\ln x+\frac{f(x)}{x}\gtrless 0$	$f(x)\ln x$
6	$f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)\gtrless 0$	$\frac{f(x)}{g(x)}$
7	$x{f}^{\prime }(x)-f(x)\gtrless 0$	$\frac{f(x)}{x}$
8	$f^{\prime }(x)+f(x)\gtrless 0$	$e^{x}f(x)$
9	$f^{\prime }(x)+\ln a\cdot f(x)\gtrless 0$	$a^{x}f(x)$
10	$f^{\prime }(x)-f(x)\gtrless 0$	$\frac{f(x)}{e^x}$
11	$n{f}^{\prime }(x)+f(x)\gtrless 0$	$e^{\frac{x}{n}}f(x)$
12	$n{f}^{\prime }(x)-f(x)\gtrless 0$	$\frac{f(x)}{e^{\frac{x}{n}}}$
13	$f^{\prime }(x)+nf(x)\gtrless 0$	$e^{nx}f(x)$
14	$f^{\prime }(x)-nf(x)\gtrless 0$	$\frac{f(x)}{e^{nx}}$
15	$f^{\prime }(x)+2xf(x)\gtrless 0$	$e^{x^2}f(x)$
16	$f^{\prime }(x)\tan x+f(x)\gtrless 0$	$\sin xf(x)$
17	$f^{\prime }(x)\tan x-f(x)\gtrless 0$	$\cos xf(x)$
18	$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\gtrless 0$	$\ln f(x)$

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

观察系数是关键

如果发现 $f(x)$ 前面有系数 $n$，通常考虑 $x^n$（在乘除法则中）或 $e^{nx}$（在指数还原中）。如果出现 $\tan x$ 或 $1/x$，则是三角函数或对数还原的强烈信号。

定义域的约束

对于 $F(x)=\frac{f(x)}{x^n}$ 或 $F(x)=\frac{f(x)}{\sin x}$，必须确保分母在给定区间内不为 0。同时注意 $x^n$ 的 $n$ 为奇偶时对函数性质的影响。

“同一性”原则

还原的目的不仅仅是看单调性，通常是为了比较大小。例如已知 $F(x)$ 增且 $x_1>x_2$，则 $F(x_1)>F(x_2)$。将原本无法比较的 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 放入 $F(x)$ 的框架内统一处理。