20.11 导数压轴题：对数单身狗与指数找基友

🟦 导数压轴题：对数单身狗与指数找基友

核心心法

“指对分离，化繁为简”。当函数解析式中同时出现多项式与 $e^x$ 或 $\ln x$ 时，直接求导往往会陷入死循环。通过“让对数独立”和“给指数配对”的构造思想，我们可以将原本复杂的变号判定转化为简单函数的单调性讨论。

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一、 对数单身狗 (Logarithmic Separation)

1. 核心思想

“乘除变加减，孤立对数项”。 若函数 $f(x)$ 中含有 $\ln x$，多次求导后项数会指数级增加。此时应通过变形，将 $\ln x$ 项孤立（使其前面不含变量或只含常数），从而使求导后的式子中不再含有 $\ln x$，达到“降维”目的。

2. 处理技巧

• 模型：若有 $f^{\prime }(x)=g(x)\ln x+h(x)$。
• 动作：通过除以 $g(x)$（需保证非零），构造新函数 $\phi (x)=\ln x+\frac{h(x)}{g(x)}$。
• 效果：对 $\phi (x)$ 再次求导得 ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+{\left[\frac{h(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }$，此时 $\ln x$ 消失，只需讨论多项式的正负。

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二、 指数找基友 (Exponential Pairing)

1. 核心思想

“加减变乘除，构造除法链”。 $e^x$ 的导数还是 $e^x$，这在加减运算中会导致 $e^x$ 项始终无法消除。通过构造“商”的形式，利用商的导数法则，可以将 $e^x$ 锁定在分母上作为正项因子，而分子部分则变成“导数与原函数之差”。

2. 处理技巧

• 模型：涉及 $e^x$ 与 $f(x)$ 的复合。
• 动作：构造 $G(x)=\frac{f(x)}{e^x}$ 或 $G(x)=f(x)e^{-x}$。
• 求导：$G^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)-f(x)}{e^x}$。
• 效果：$e^x$ 恒大于 0，单调性完全由分子的 $f^{\prime }(x)-f(x)$ 决定。这在处理形如 $e^x>x^2+ax+b$ 的恒成立问题时极度高效。

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🚀 深度拓展：变形模板与实战模型

1. “对数单身狗”的常见变式

针对含有 $\ln x$ 的不等式证明，常用以下构造路径：

• 路径 A：$\frac{f(x)}{\ln x}=g(x)$ （适用于对数在分母）
• 路径 B：$f(x)-\ln x=g(x)$ （适用于和差分离）
• 路径 C：$\ln x=\frac{h(x)}{k(x)}$ （隐零点代换的前奏）

2. “指数找基友”的进阶配对

不仅仅是 $e^x$，针对不同的指数底数，配对方式如下：

• 底数为 $a$：构造 $\frac{f(x)}{a^x}$ $⟹$ 分子出现 $f^{\prime }(x)-f(x)\ln a$。
• 复合型指数：若出现 $e^{2x}$，构造 $\frac{f(x)}{e^{2x}}$ $⟹$ 分子出现 $f^{\prime }(x)-2f(x)$。
• 幂指结合：若出现 $x^n{e}^x$，构造 $\frac{f(x)}{x^n{e}^x}$，可同时解决指数与幂函数的纠缠。

3. “指对双开”综合模型

当式中同时含有 $e^x$ 和 $\ln x$：

1. 先用“对数单身狗”将 $\ln x$ 转化为 $1/x$。
2. 再观察剩余部分是否满足“指数找基友”的结构。
3. 终极目标：将所有超越项转化为有理分式进行判定。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

什么时候该用“单身狗”？

当你对原函数求导一次后，发现 $\ln x$ 前面还拖着一长串关于 $x$ 的函数，且二阶导数无法直接看号时，果断采用分离法，让 $\ln x$ 变单身。

注意定义域的“雷区”

进行“指数找基友”构造商式时，如果分母可能为 0（如构造 $\frac{f(x)}{x-1}$），必须在定义域内分区间讨论，防止出现分母为 0 的非法计算。

“基友”的选择决定运算量

并不是所有的 $e^x$ 都要除掉。如果原式是 $f^{\prime }(x)+f(x)>0$，应该构造 $f(x)e^x$（找积型基友）；只有当原式是 $f^{\prime }(x)-f(x)>0$ 时，才构造 $\frac{f(x)}{e^x}$（找商型基友）。