21.03 空间向量求角

🟦 空间向量求角专题 (Computing Angles)

核心心法

“异面线线绝对值，线面正弦法向求，二面角看凹凸性”。空间向量求角的关键在于理清“向量夹角”与“几何夹角”之间的三角函数转换关系。线线角与线面角恒为锐角（或直角），故公式中带有绝对值；而二面角则需根据图形的张角特性（钝角或锐角）来最终确定符号。

1. 求异面直线 $a,b$ 所成的角

已知 $a,b$ 为两异面直线，$A,C$ 与 $B,D$ 分别是 $a,b$ 上的任意两点，$a,b$ 所成的角为 $\theta$， 则 $\cos \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}⟩|=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|}$。

① 向量 $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}$ 所成角 $⟨\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}⟩$ 的范围是 $(0,\pi ]$，而异面直线 $AC,BD$ 所成的角范围是 $[0,\frac{\pi }{2}]$；

② $⟨\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}⟩$ 与 $\theta$ 的关系是相等或互补。 故 $\cos \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}⟩|$，不要漏了“绝对值符号”。

2. 求直线 $l$ 和平面 $\alpha$ 所成的角

设直线 $l$ 方向向量为 $\vec{a}$，平面 $\alpha$ 法向量为 $\vec{n}$，直线与平面所成的角为 $\theta$，$\vec{a}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $\alpha$，则 $\theta$ 为 $\alpha$ 的余角或 $\alpha$ 的补角的余角，即有 $\sin \theta =|\cos \alpha |=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}$。 当 $\theta =\frac{\pi }{2}-\alpha$ 时，$\sin \theta =\cos \alpha$；当 $\theta =\alpha -\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin \theta =-\cos \alpha$； 不管哪种情况，都有 $\sin \theta =|\cos \alpha |$。

3. 求平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角 (二面角)

(1) 二面角的平面角是指在二面角 $\alpha -l-\beta$ 的棱上任取一点 $O$，分别在两个半平面内作射线 $AO\perp l$，$BO\perp l$，则 $\angle AOB$ 为二面角 $\alpha -l-\beta$ 的平面角，二面角的取值范围是 $[0,\pi ]$。

(2) 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 $90^{\circ }$ 的二面角称为平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角。

(3) 空间向量求平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角 求法：设平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的法向量分别为 $\vec{m},\vec{n}$，再设 $\vec{m},\vec{n}$ 的夹角为 $\phi$，平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的平面角为 $\theta$，则 $\theta =\phi$ 或 $\pi -\phi$， 则 $\cos \theta =|\cos \phi |=\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}$。

⚠️ 考场避坑与做题技巧

如何判定二面角的正负？

向量法求出的 $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩$ 结果可能为负。此时应观察图形：

1. 若法向量均指向二面角的“内部”或均指向“外部”，则向量角与二面角互补。
2. 若一个指向内部，一个指向外部，则向量角与二面角相等。 口诀：同向互补，异向相等。

线面角容易写错成余弦

很多同学习惯性地写成 $\cos \theta$，请记住线面角计算的是正弦值 $\sin \theta$。因为法向量与平面的关系是垂直，这导致了正余弦的转换。

“绝对值”的取舍

• 线线角：必加绝对值。
• 线面角：必加绝对值。
• 二面角：严禁盲目加绝对值。必须先求出向量夹角余弦值，再结合几何图形的凹凸性（锐二面角或钝二面角）来决定最终的符号。