23.01 条件概率与乘法公式

🟦 条件概率与乘法公式专题

核心心法

“空间收缩，信息更新”。条件概率的本质是：当我们得知事件 $A$ 已经发生时，样本空间从全集 $\Omega$ 缩小到了集合 $A$。此时研究 $B$ 的概率，实际上是在研究“$A$ 发生的部分里有多少属于 $B$”。

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一、 条件概率 (Conditional Probability)

1. 定义

设 $A,B$ 为两个随机事件，且 $P(A)>0$，则在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的条件概率定义为： $P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}=\frac{P(AB)}{P(A)}$

• $n(AB)$：积事件 $AB$ 包含的样本点个数。
• $P(AB)$：事件 $A$ 和 $B$ 同时发生的概率。

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二、 概率的乘法公式 (Multiplication Rules)

1. 两个事件的乘法公式

若 $P(A)>0$，则： $P(AB)=P(A)P(B|A)$

• 独立性简化：若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P(B|A)=P(B)$，公式变为 $P(AB)=P(A)P(B)$。

2. 三个事件的乘法公式

当 $P(AB)>0$ 时： $P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)$

3. $n$ 个事件的递推乘法公式

当 $P(A_1{A}_2\dots A_{n-1})>0$ 时： $P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)\dots P(A_n|A_1{A}_2\dots A_{n-1})$

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三、 条件概率的性质

条件概率在已知 $A$ 发生的“新世界”里，依然服从概率公理化定义的所有基本性质：

1. 规范性：$P(\Omega |A)=1$。
2. 可列可加性：若 $B$ 与 $C$ 互斥，则 $P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)$。
3. 对立性：$P(\bar{B}|A)=1-P(B|A)$。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

“$P(AB)$”与“$P(B|A)$”的区别

• $P(AB)$：在全样本空间里，看 $A,B$ 同时发生的可能性（分母是 $n(\Omega )$）。
• $P(B|A)$：已经站在 $A$ 的地盘上了，看 $B$ 发生的可能性（分母是 $n(A)$）。 口诀：前者是“两件事都发生的概率”，后者是“已知一件事后另一件发生的概率”。

注意概率树的权重

在使用乘法公式解决连抽问题（如：不放回抽样）时，概率树的每一条路径都是通过乘法公式计算出来的。路径末端的概率等于沿途所有分支概率的乘积。

独立性的判定

很多同学容易混淆“互斥”与“独立”。

• 互斥：不能同时发生，$P(AB)=0$。
• 独立：互不影响，$P(B|A)=P(B)$。 如果 $A,B$ 独立且 $P(A),P(B)>0$，那么它们一定不互斥。