23.02全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型

🟦 全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型

核心心法

“全概求果，贝叶斯溯因，游走定递推”。全概率公式是处理“多原因导致单一结果”的利器；贝叶斯公式则是在已知结果发生时，反推各原因可能性的概率罗盘；而在处理更高级的随机过程（如游走模型）时，全概率公式则化身为建立递推数列的数学工具。

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一、 全概率公式与贝叶斯公式

1. 全概率公式 (Law of Total Probability)

• 前提：$A_1,A_2,\dots ,A_n$ 构成样本空间的一个划分（两两互斥且并集为 $\Omega$）。
• 公式：对任意事件 $B$，有 $P(B)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_{i}B)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i)$
• 几何直观：将事件 $B$ 的概率看作是在各个“原因” $A_i$ 下发生的概率加权平均。

2. 贝叶斯公式 (Bayes’ Theorem)

• 定义：已知事件 $B$ 已经发生，推测是由某个特定原因 $A_i$ 引起的概率。
• 公式： $P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{{\sum }_{k=1}^{n}P(A_k)P(B\mid A_k)}$
• 意义：后延概率（执果索因）。

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二、 递推方法与一维马尔可夫过程

1. 简单随机游走模型 (Random Walk)

• 模型设定：点在整数点移动，向左概率为 $\alpha$，向右概率为 $\beta$ ($\alpha +\beta =1$)。
• 递推式推导：记 $P_i$ 为从位置 $i$ 出发最终到达目标（如 $m$ 点）的概率。 由全概率公式，考虑第一步的去向： $P_i=\alpha \cdot P_{i-1}+\beta \cdot P_{i+1}$
• 边界条件 (吸收壁)：若 $x=0$ 和 $x=m$ 是终点，则 $P_0=0,P_m=1$。

2. 含原地不动的随机游走模型

• 模型设定：向左（概率 $a$）、原地不动（概率 $b$）、向右（概率 $c$），且 $a+b+c=1$。
• 递推方程： $P_i=a{P}_{i-1}+b{P}_i+c{P}_{i+1}$
• 处理技巧：通常将 $b{P}_i$ 项移至左侧，转化为 $(1-b)P_i=a{P}_{i-1}+c{P}_{i+1}$，进而利用特征方程解递推数列。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

全概率公式的“树状图”法

面对多阶段概率问题，画出概率树。第一层的分支即为 $P(A_i)$，第二层的分支即为条件概率 $P(B|A_i)$。所有到达目标 $B$ 的路径末端乘积之和，即为 $P(B)$。

贝叶斯公式的“先验”与“后验”

• 先验概率 $P(A_i)$：在实验前已知的原因概率。
• 后验概率 $P(A_i|B)$：在得知结果 $B$ 后，修正后的原因概率。 审题时若看到“已知…发生，求是…的概率”，必用贝叶斯。

递推式的“算术性”

在随机游走中，若 $\alpha =\beta =0.5$，则递推式 $P_i=\frac{1}{2}(P_{i-1}+P_{i+1})$ 表明 $\{P_i\}$ 是一个等差数列。结合边界条件可以极速求出各点概率。