2007-上海卷理-03 填-分式函数代数变形

本题导读

本题考查分式函数反函数的求解方法。通过代数变形将原函数中自变量 $x$ 解出，完成映射的逆变换，属于考查函数基本运算的常规题。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{x}{x-1}$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 反解变量：将 $y=\frac{x}{x-1}$ 视为关于 $x$ 的方程，通过去分母、移项提公因式将 $x$ 用含 $y$ 的代数式表示。

2. 互换字母：将 $x$ 与 $y$ 互换，并根据原函数的值域确定反函数的定义域。

✅【答案】

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$\frac{x}{x-1}(x\ne 1)$

✍【详细解析】

Abstract

设 $y=\frac{x}{x-1}$，由于分母不为零，可知原函数定义域为 $\{x\mid x\ne 1\}$． 对等式进行去分母变形： $y(x-1)=x⟹yx-y=x$ 移项提公因式得： $yx-x=y⟹x(y-1)=y$ 显然 $y\ne 1$（若 $y=1$ 则方程化为 $0=1$ 无解），故解得： $x=\frac{y}{y-1}$ 将 $x,y$ 互换，可得反函数的解析式为 $f^{-1}(x)=\frac{x}{x-1}$ ($x\ne 1$)．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求解步骤（一解、二换、三定域）。

2. 核心方法：代数方程反解法。

3. 避坑指南：写出反函数解析式后，必须注明反函数的定义域（即原函数的值域 $x\ne 1$），保持函数概念的完整性。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中反函数章节的经典例题，主要展示了对称分式结构在求反函数过程中的自守性现象。

5. 结论推广：对于任意非对称中心型分式函数 $f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}$ ($ad+bc\ne 0$)，其反函数恒为其自身，即 $f^{-1}(x)=f(x)$．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)