2007-上海卷理-07 填-组合计数原理

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。将从 5 个数字中取出 3 个数字的复杂问题转化到分析剩下 2 个数字的状态，大大简化了组合计数模型的构建。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 在五个数字 1，2，3，4，5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 $\underline{}$．（结果用数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 视角转换：随机取出 3 个数字后“剩下 2 个数字”，其本质等价于直接从 5 个数字中“随机指定 2 个数字”留下，总的事件数完全相同。

2. 计数与求比：在 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数中（奇数 3 个，偶数 2 个），求选出 2 个均为奇数的组合数，再除以总组合数。

✅【答案】

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$0.3$ （或 $\frac{3}{10}$）

✍【详细解析】

Abstract

随机取出 3 个数字剩下 2 个数字，所有可能留下的数字对总数为从 5 个元素中任取 2 个的组合数： $N={\text{C}}_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10\text{ 种}$ 已知数字 1, 2, 3, 4, 5 中，奇数有 1, 3, 5 共 3 个． 要使剩下的两个数字都是奇数，必须且只需从这 3 个奇数中任意留下 2 个，其组合数为： $m={\text{C}}_3^2=3\text{ 种}$ 根据古典概型概率计算公式，所求概率为： $P=\frac{m}{N}=\frac{3}{10}=0.3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的定义，组合数的计算规则。

2. 核心方法：逆向对偶分析法（取 3 个等价于留 2 个）。

3. 避坑指南：如果直接正面去算取出 3 个数字的情况，由于需满足“包含全部 2 个偶数以及 1 个奇数”，虽然结果相同（${\text{C}}_2^2\cdot {\text{C}}_3^1=3$），但正向思维推导相比逆向直接抽样留出奇数更易漏掉分类讨论边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于必修 3 概率章节中关于古典概型与抽样的基本应用问题，旨在考查灵活切换观察视角的数学思维。

5. 结论推广：从包含 $M$ 个奇数、$N$ 个偶数共 $M+N$ 个元素中随机取出 $k$ 个，剩余元素满足特定奇偶搭配的概率，恒满足 $\frac{{\text{C}}_M^a\cdot {\text{C}}_N^b}{{\text{C}}_{M+N}^{a+b}}$，其中 $a,b$ 为剩余空间内指定的指标额度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-06 单-几何体结构