2007-上海卷理-16 解-直线平面所成角

本题导读

本题考查直三棱柱中线面角的求解。核心在于利用体积公式确定侧棱长，再通过线面垂直关系找出直线在平面内的正射影，从而将空间线面角转化为直角三角形内的锐角求解。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 如图，在体积为 1 的直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$AC=BC=1$，求直线 $A_{1}B$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成角．（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

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1. 求出侧棱长：通过直角三角形底面积与已知体积，利用 $V=S_{\text{底}}\cdot h$ 逆推出侧棱长 $C{C}_1=2$．

2. 锁定线面角：利用直三棱柱的性质证明 $A_1{C}_1\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，从而确定 $A_{1}B$ 在该平面上的正射影为 $C_{1}B$，则 $\angle A_{1}B{C}_1$ 即为目标线面角．

3. 解直角三角形：利用勾股定理求出射影长 $C_{1}B$，在 $\text{Rt}△A_1{C}_{1}B$ 中通过正切值写出反三角函数答案．

✅【答案】

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直线𝐴1𝐵与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶所成角的大小为arctan√55.

✍【详细解析】

Abstract

在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面 $△ABC$ 为直角三角形，且 $\angle ACB=90^{\circ }$． 其底面积为： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$ 由棱柱体积公式 $V=S_{△ABC}\cdot A{A}_1=1$，得： $\frac{1}{2}A{A}_1=1⟹A{A}_1=2$ 故侧棱长 $C{C}_1=B{B}_1=A{A}_1=2$．

因为该几何体为直三棱柱，所以侧棱 $C{C}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$，则 $C{C}_1\perp A_1{C}_1$． 又因为 $\angle A_1{C}_1{B}_1=\angle ACB=90^{\circ }$，即 $A_1{C}_1\perp C_1{B}_1$． 且 $C{C}_1\cap C_1{B}_1=C_1$， $C{C}_1,C_1{B}_1\subset$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$， 所以 $A_1{C}_1\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$． 由此可知，直线 $A_{1}B$ 在平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 上的正射影为直线 $C_{1}B$． 故直线 $A_{1}B$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成的角为 $\angle A_{1}B{C}_1$．

在 $\text{Rt}△BC{C}_1$ 中，$\angle BC{C}_1=90^{\circ }$，$BC=1$，$C{C}_1=2$， 由勾股定理得： $C_{1}B=\sqrt{B{C}^2+C{C}_1^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ 在 $\text{Rt}△A_1{C}_{1}B$ 中，$\angle A_1{C}_{1}B=90^{\circ }$，$A_1{C}_1=AC=1$， 则满足正切关系： $\tan \angle A_{1}B{C}_1=\frac{A_1{C}_1}{C_{1}B}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 所以，$\angle A_{1}B{C}_1=\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$． 即直线 $A_{1}B$ 与平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成角为 $\arctan \frac{\sqrt{5}}{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直三棱柱的体积与结构性质，线面垂直的判定定理，线面角的定义与传统几何法求解。

2. 核心方法：射影定义法（找垂线、找射影、引出角）。

3. 避坑指南：寻找线面角时，极易习惯性地向底面引垂线；本题要求的是与侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 的所成角，必须向该侧面引垂线，明确 $A_1{C}_1$ 才是关键垂线段。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中空间直线与平面所成角定义的直接应用，是高考中利用传统几何手段考查空间想象能力与逻辑推理能力的标准大题模型。

5. 结论推广：对于任意侧棱长为 $h$、底面直角边为 $a,b$ 的直三棱柱（直角顶点在侧面上），斜侧棱与该直角面所成角 $\theta$ 的正切值恒满足 $\tan \theta =\frac{a}{\sqrt{b^2+h^2}}$，其中 $a$ 为离开该平面的直角边长．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2022-新高考II卷-12 多-不等式最值