2007-上海卷理-18 解-平均增长率指数模型

本题导读

本题考查增长率模型在实际应用问题中的数学建模与代数计算。第一问通过逐年递增的增长率进行迭代乘积计算；第二问根据增长率保持恒定构建多阶指数模型，通过不等式控制求解平均增长率的下限。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 瓦，年生产量的增长率为 $34\%$．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 $2\%$（如，2003 年的年生产量的增长率为 $36\%$）．

(1) 求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦）；

(2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 $42\%$，到 2010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 $95\%$），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 $0.1\%$）？

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据增长率逐年递增 $2\%$，列出 2003 至 2006 各年份的增长率，通过连乘递推公式计算出 2006 年的生产量。

2. 第二问：设年安装量的平均增长率为 $x$，分别用 2006 年的数据和对应增长率表示出 2010 年的年生产量和年安装量，建立不等式 $\text{安装量}\ge 0.95\times \text{生产量}$，开方求解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：由题意知，2003 年至 2006 年各年的年生产量增长率分别为： 2003 年：$34\%+2\%=36\%$ 2004 年：$36\%+2\%=38\%$ 2005 年：$38\%+2\%=40\%$ 2006 年：$40\%+2\%=42\%$ 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为： $W_{2006}=670\times (1+36\%)\times (1+38\%)\times (1+40\%)\times (1+42\%)$ $W_{2006}=670\times 1.36\times 1.38\times 1.40\times 1.42\approx 2501.4\text{ 兆瓦}$ 答：2006 年全球太阳电池的年生产量约为 2501.4 兆瓦．

(2) 解：由 (1) 得 2006 年的年生产量为 $670\times 1.36\times 1.38\times 1.40\times 1.42$． 设从 2006 年到 2010 年这四年中，年安装量的平均增长率至少为 $x$． 到 2010 年，年生产量为： $P_{2010}=W_{2006}\times (1+42\%{)}^4$ 到 2010 年，年安装量为： $I_{2010}=1420\times (1+x{)}^4$ 根据题意，年安装量不少于年生产量的 $95\%$，即 $I_{2010}\ge 0.95\times P_{2010}$： $1420\times (1+x{)}^4\ge 0.95\times W_{2006}\times 1.42^4$ 代入 $W_{2006}$ 的精确表达式变形得： $(1+x{)}^4\ge \frac{0.95\times 670\times 1.36\times 1.38\times 1.40\times 1.42^5}{1420}$ $(1+x{)}^4\ge \frac{636.5\times 1.36\times 1.38\times 1.40\times 1.42^5}{1420}\approx \frac{9829.412}{1420}\approx 6.9221$ 两边开四次方得： $1+x\ge \sqrt[4]{6.9221}\approx 1.6222⟹x\ge 62.2\%$ 答：这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 $62.2\%$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多元复合增长率模型的建立，平均增长率（几何平均数）的代数不等式求解。

2. 核心方法：指数模型法，精确数据留存回代法。

3. 避坑指南：第一问计算出 2006 年的产量后，建议在第二问列式时尽量保留前项的因数式进行整体约分运算，避免由于中间数值过早四舍五入造成最后的指数开方结果出现明显的累积统计误差。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中关于应用题（指数增长模型）的实践课题，是传统高考中考查社会生产应用与大规模数据处理能力的经典解答题。

5. 结论推广：对于基期为 $A$ 且伴随离散可变增长率 $r_i$ 的演变模型，经过 $n$ 期后的总量标准表达式为 $A{\prod }_{i=1}^n(1+r_i)$ ；而恒定平均增长率 $x$ 对应的对偶累积公式则为 $B(1+x{)}^n$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性