2007-上海卷理-20 解-分类讨论思想

本题导读

本题是一道以“对称数列”为核心轴的新定义创新压轴题。第一问考查等差数列基本量计算；第二问结合对称结构转化为轴对称二次函数的最值判定；第三问要求通过片段的镜像重叠特性完整构造出所有拓扑可能的数列模型，并进行精确的分段求和讨论。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 如果有穷数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$ ($n$ 为正整数) 满足条件 $a_1=a_n,a_2=a_{n-1},\cdots ,a_n=a_1$，即 $a_i=a_{n-i+1}$ ($i=1,2,\cdots ,n$)，我们称其为“对称数列”. 例如，由组合数组成的数列 ${\text{C}}_m^0,{\text{C}}_m^1,\cdots ,{\text{C}}_m^m$ 就是“对称数列”.

(1) 设 $\{b_n\}$ 是项数为 7 的“对称数列”，其中 $b_1,b_2,b_3,b_4$ 是等差数列，且 $b_1=2,b_4=11$. 依次写出 $\{b_n\}$ 的每一项；

(2) 设 $\{c_n\}$ 是项数为 $2k-1$（正整数 $k>1$）的“对称数列”，其中 $c_k,c_{k+1},\cdots ,c_{2k-1}$ 是首项为 50，公差为 $-4$ 的等差数列. 记 $\{c_n\}$ 各项的和为 $S_{2k-1}$. 当 $k$ 为何值时，$S_{2k-1}$ 取得最大值？并求出 $S_{2k-1}$ 的最大值；

(3) 对于确定的正整数 $m>1$，写出所有项数不超过 $2m$ 的“对称数列”，使得 $1,2,2^2,\cdots ,2^{m-1}$ 依次是该数列中连续的项；当 $m>1500$ 时，求其中一个“对称数列”前 2008 项的和 $S_{2008}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：由等差数列公式求出公差 $d$，利用对称映射关系 $b_i=b_{8-i}$ 顺次补全。

2. 第二问：将全项和 $S_{2k-1}$ 变形转化为后半段等差数列和的 2 倍扣除重复的中心项 $c_k$，建立关于 $k$ 的二次函数模型求最高点。

3. 第三问：已知连续几何片段与其反序镜像片段在总长 $\le 2m$ 的空间内相撞，通过分析不重叠紧邻和端点单项重叠，精准锁定 4 种边界数列拓扑；求和时需以 2008 为临界点对 $m$ 展开分段讨论。

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所有满足条件的对称数列共有上述 4 个

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：设等差数列 $\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ 的公差为 $d$． 由 $b_4=b_1+3d$，得 $11=2+3d⟹d=3$． 所以前四项为 $b_1=2,b_2=5,b_3=8,b_4=11$． 由于 $\{b_n\}$ 是项数为 7 的对称数列，满足 $b_i=b_{8-i}$ ($i=1,2,3$)， 故后三项为 $b_5=b_3=8,b_6=b_2=5,b_7=b_1=2$． 所以 $\{b_n\}$ 的每一项依次为：2, 5, 8, 11, 8, 5, 2．

(2) 解：由于 $\{c_n\}$ 是项数为 $2k-1$ 的对称数列，其关于中心项 $c_k$ 呈轴对称分布． 已知 $c_k,c_{k+1},\cdots ,c_{2k-1}$ 是以 50 为首项，$-4$ 为公差的等差数列，共包含 $k$ 项． 则该段等差数列之和为： ${\sum }_{i=0}^{k-1}(50-4i)=50k-4\times \frac{k(k-1)}{2}=-2k^2+52k$ 根据对称数列的求和特征，总和 $S_{2k-1}$ 可表示为： $S_{2k-1}=2\times (c_k+c_{k+1}+\cdots +c_{2k-1})-c_k$ $S_{2k-1}=2(-2k^2+52k)-50=-4k^2+104k-50$ 该二次函数开口向下，其对称轴为 $k=-\frac{104}{2\times (-4)}=13$． 因为 $13\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 且 $13>1$， 所以当 $k=13$ 时，$S_{2k-1}$ 取得最大值，最大值为： $S_{\text{max}}=-4\times 13^2+104\times 13-50=626$

(3) 解：设给定的连续项片段为 $B=(1,2,2^2,\cdots ,2^{m-1})$，其长度为 $m$． 由对称性，其反序片段 $B^R=(2^{m-1},\cdots ,2^2,2,1)$ 也必在数列中连续出现． 考虑到总项数 $n\le 2m$，两片段在空间中只能紧邻或部分重叠： ① 若 $B$ 与 $B^R$ 恰好不重叠且紧邻，可得 2 个长度为 $2m$ 的对称数列： $\text{I}:1,2,2^2,\cdots ,2^{m-1},2^{m-1},\cdots ,2,1$ $\text{II}:2^{m-1},\cdots ,2,1,1,2,\cdots ,2^{m-1}$ ② 若 $B$ 与 $B^R$ 发生重叠，由于等比数列严格单调，只能在端点 $1$ 或 $2^{m-1}$ 处重叠 1 项，可得 2 个长度为 $2m-1$ 的对称数列： $\text{III}:1,2,2^2,\cdots ,2^{m-1},2^{m-2},\cdots ,2,1$ $\text{IV}:2^{m-1},\cdots ,2,1,2,\cdots ,2^{m-1}$ 综上所述，所有满足条件的对称数列共有上述 4 个．

下面求其中一个数列（以选择数列 $\text{I}$ 为例）前 2008 项的和 $S_{2008}$： 当 $m>1500$ 时，对参数 $m$ 的分布空间分情况讨论： ① 若 $m\ge 2008$，则该数列的前 2008 项全部包含在前半段单调递增的等比数列中， $S_{2008}=1+2+2^2+\cdots +2^{2007}=\frac{1\times (1-2^{2008})}{1-2}=2^{2008}-1$ ② 若 $1500<m<2008$，则前 2008 项包含完整的单调递增段（共 $m$ 项）以及部分的单调递减段（共 $2008-m$ 项）： 递增段之和为：$1+2+\cdots +2^{m-1}=2^m-1$； 递减段的前 $2008-m$ 项依次为 $2^{m-1},2^{m-2},\cdots ,2^{2m-2008}$，其片段和为： $\frac{2^{m-1}\times [1-(\frac{1}{2}{)}^{2008-m}]}{1-\frac{1}{2}}=2^m-2^{2m-2008}$ 此时总和为： $S_{2008}=(2^m-1)+(2^m-2^{2m-2008})=2^{m+1}-2^{2m-2008}-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差等比通项与求和，轴对称代数建模，创新拓扑链条重组。

2. 核心方法：模型构造法，分类讨论法。

3. 避坑指南：(3)问在推导可能的对称数列时，极易因思维不严密漏掉重叠 1 项和不重叠的相对位置次序变换，导致拓扑情况列举不全；最后求和时必须清醒认识到 $m$ 是未知常数，直接影响 2008 项跨越对称轴的前后截断状态，必须分两类区间作答。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于现代数学中关于文字数集自同构、回文序列（Palindrome）的结构研究，通过在初等数学框架下内嵌等差、等比序列，完美考查逻辑严密性与高观点下的转化创新能力。

5. 结论推广：对于包含长度为 $m$ 的严格单调不重复子片段 $A$ 且总长 $\le 2m$ 的回文对称序列，其最大可能独立构型的总数恒为 4。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2022-新高考II卷-12 多-不等式最值