2007-北京卷文-20 解-切线交点与对称代换

本题导读

本题考查导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 已知函数 $y=kx$ 与 $y=x^2+2$（$x⩾0$）的图象相交于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．$l_1$，$l_2$ 分别是 $y=x^2+2$（$x⩾0$）的图象在 $A$，$B$ 两点的切线，$M$，$N$ 分别是 $l_1$，$l_2$ 与 $x$ 轴的交点． （1）求 $k$ 的取值范围； （2）设 $t$ 为点 $M$ 的横坐标，当 $x_1<x_2$ 时，写出 $t$ 以 $x_1$ 为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （3）试比较 $|OM|$ 与 $|ON|$ 的大小，并说明理由（$O$ 是坐标原点）．

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）消元得 $x^2-kx+2=0$，两正根 $⟺$ 判别式 $k^2-8>0$ 且两根之和 $k>0$。
2. （2）切线 $l_1$：$y=2x_{1}x-x_1^2+2$，令 $y=0$ 得 $t=\frac{x_1^2-2}{2x_1}=\frac{x_1}{2}-\frac{1}{x_1}$；$x_1\in (0,\sqrt{2})$（由 $x_1{x}_2=2$、$x_1<x_2$），$t$ 递增，值域 $(-\infty ,0)$。
3. （3）$N$ 横坐标 $=\frac{x_2}{2}-\frac{1}{x_2}$；用 $x_1{x}_2=2$ 代换后与 $-t$ 相等。

✅【答案】

点击查看答案

（1）$k>2\sqrt{2}$；（2）$t=\frac{x_1}{2}-\frac{1}{x_1}$，定义域 $(0,\sqrt{2})$，值域 $(-\infty ,0)$；（3）$|OM|=|ON|$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 联立 $y=kx$ 与 $y=x^2+2$（$x⩾0$），消去 $y$ 得 $x^2-kx+2=0.$ 依题意该方程有两个不等正实根，故 $\{\begin{array}{l}{k}^2-8>0,\\ k>0,\end{array}\text{解得}k>2\sqrt{2}.$ （2） 抛物线 $y=x^2+2$ 的导数为 $y^{\prime }=2x$，在点 $A(x_1,x_1^2+2)$ 处的切线 $l_1:y-(x_1^2+2)=2x_1(x-x_1).$ 令 $y=0$，得 $M$ 的横坐标 $t=\frac{x_1^2-2}{2x_1}=\frac{x_1}{2}-\frac{1}{x_1}.$ 由（1）知 $x_1+x_2=k$，$x_1{x}_2=2$；$x_1<x_2$ 且两根均为正，故 $0<x_1<\sqrt{2}<x_2$；$k\in (2\sqrt{2},+\infty )$ 时 $x_1=\frac{k-\sqrt{k^2-8}}{2}$ 随 $k$ 增大而减小，取值范围为 $(0,\sqrt{2})$，即定义域为 $(0,\sqrt{2})$． $t^{\prime }=\frac{1}{2}+\frac{1}{x_1^2}>0$，$t$ 在 $(0,\sqrt{2})$ 上单调递增；$x_1\to 0^{+}$ 时 $t\to -\infty$，$x_1\to \sqrt{2}$ 时 $t\to \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0$，故值域为 $(-\infty ,0)$． （3） 同理 $l_2$ 与 $x$ 轴交点 $N$ 的横坐标为 $x_N=\frac{x_2}{2}-\frac{1}{x_2}$（$x_2>\sqrt{2}$ 时 $x_N>0$）． 由 $x_1{x}_2=2$，即 $x_2=\frac{2}{x_1}$，代入：$\frac{x_2}{2}=\frac{1}{x_1}$，$\frac{1}{x_2}=\frac{x_1}{2}$，故 $x_N=\frac{1}{x_1}-\frac{x_1}{2}=-\left(\frac{x_1}{2}-\frac{1}{x_1}\right)=-t.$ 又 $t<0$，故 $|OM|=-t=x_N=|ON|$，即 $|OM|=|ON|.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线交点与对称代换

核心方法：判别式定 k，切线截距得 t，韦达代换比大小

避坑指南：x₁x₂=2 是核心桥梁；|OM|=|ON| 的证明离不开 x₂=2/x₁ 的对称代换

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数的几何意义

结论推广：抛物线 y=x²+2 在 x₀ 处切线 x 截距为 x₀/2−1/x₀

方法推广：切线与韦达结合时，先用根的对称式简化再比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练(Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2008-浙江卷文-21 解-三次函数切线最值