2007-北京卷理-04 单-向量中点特征恒等式

本题导读

本题考查平面向量的线性运算与三角形中点几何特征的融合。核心在于利用中点性质将 $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ 简化为包含中点向量 $\overrightarrow{OD}$ 的形式，再通过简单的移项和变号，求出目标向量的关系。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 已知 $O$ 是 $△ABC$ 所在平面内一点， $D$ 为 $BC$ 边中点，且 $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$，那么()

A. $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$　　　B. $\overrightarrow{AO}=2\overrightarrow{OD}$　　　C. $\overrightarrow{AO}=3\overrightarrow{OD}$　　　D. $2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 应用中点向量定义公式：因为 $D$ 是线段 $BC$ 的中点，根据平面向量的基本几何性质， 从同一点 $O$ 出发指向端点和中点的向量刚性满足： $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$。

2. 整体替换代入：将此恒等式代入题目给定的条件算式中。

3. 移项化简求目标向量：通过移项和向量方向翻转（ $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{AO}$）， 整理出 $\overrightarrow{AO}$ 与 $\overrightarrow{OD}$ 的比例系数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为点 $D$ 是 $△ABC$ 中 $BC$ 边的中点， 根据平面向量的中点向量公式， 对于平面内任意一点 $O$， 恒有： $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$

将上述恒等代数式直接代入题目给出的已知向量方程 $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ 中： $2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OD}=\vec{0}$

等式两边同时除以 2， 简化为： $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$ 移项， 将 $\overrightarrow{OA}$ 孤立到等式左侧： $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OD}$

根据反向向量的定义， 交换向量的起点与终点会产生一个负号， 即 $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{AO}$。代入上式中： $-\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OD}$ 两边同乘以 $-1$， 最终求得： $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OD}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中点基底向量平行四边形法则（ $\vec{b}+\vec{c}=2\vec{d}$）、相反向量的符号转换。
2. 核心方法：整体代换法。
3. 避坑指南：

• 最终化简到 $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OD}$ 时，一定要看清选项中目标向量的起点和终点字母顺序。 $\overrightarrow{OA}$ 换成 $\overrightarrow{AO}$ 已经发生了一次变号， 刚好与右侧的负号抵消， 不要盲目凭直觉选带负号或系数不匹配的项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学平面向量基本定理中“向量加法的平行四边形法则”与三角形中线的融合。

2. 结论推广: 针对任意满足 $\lambda \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ 且 $D$ 为 $BC$ 中点的几何模型， 其对应的向量恒等通式永远收敛于 $\overrightarrow{AO}=\frac{2}{\lambda }\overrightarrow{OD}$。

🔗【关联脉络】

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• 09.02 平面向量的线性运算