2007-北京卷理-05 单-捆绑法插空法

本题导读

本题考查排列组合中的位置受限问题。题目中同时含有“相邻”（2位老人挨着）与“定位置受限”（不能排在两端）两个核心制约条件，需要联合运用“捆绑法”与“插空法（或元素位置分析法）”进行不重不漏的计数。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排， 2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()

A. 1440 种　　　　B. 960 种　　　　C. 720 种　　　　D. 480 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 处理相邻条件（捆绑法）：2位老人必须相邻， 将他们“捆绑”成一个整体， 记为复合大元素 $X$。这两位老人内部存在左右位置的换位可能， 共有 ${\text{A}}_2^2=2$ 种排法。
2. 分析整体排列与端点限制（插空法）：

• 现在由于2位老人缩减为 1 个整体， 加上 5 名志愿者， 共有 $1+5=6$ 个大元素。
• 题目硬性规定老人整体 $X$ 不能排在两端。
• 我们可以先将 5 名志愿者全排列， 共有 ${\text{A}}_5^5=120$ 种排法。
• 5 名志愿者排好后， 内部会形成 4 个不包含两端外部的内部空位。
• 将老人整体 $X$ 插入这 4 个内部空位中的某一个， 方案数为 ${\text{C}}_4^1=4$ 种。

3. 分步乘法原理汇总：将老人内部排列、志愿者全排列、整体插空数进行级联相乘。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：本题根据位置制约条件， 采用捆绑法配合插空法进行分步处理：

• 第一步：处理老人相邻的内部排列 把 2 位老人视作一个紧密相连的整体。 由于 2 位老人可以互换左右位置， 共有排列方案数： $N_1={\text{A}}_2^2=2\text{ 种}$

• 第二步：志愿者全排列建立排架底座 先对不受特殊端点限制的 5 名志愿者进行一排全排列。 全排列的方案数为： $N_2={\text{A}}_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\text{ 种}$

• 第三步：老人整体插空确保不居两端 5 名志愿者排成一排后， 会在他们之间产生若干个可以插入的空档。 为了确保老人整体绝不出现在队伍的左、右两个最外侧端点， 只能选择志愿者内部的空档。 5 个元素排开， 内部共有 $5-1=4$ 个非边缘空档： $\square \text{ 志 }△\text{ 志 }△\text{ 志 }△\text{ 志 }△\text{ 志 }\square$ (注：其中 $△$ 代表合法的 4 个内部可插空位， $\square$ 为不合法的两端边缘) 从这 4 个合法内部空档中任意挑选 1 个放入老人的大组合整体， 方案数为： $N_3={\text{C}}_4^1=4\text{ 种}$

根据分步计数乘法原理， 将各独立步骤的方案数全额相乘， 得到总的排法总数为： $N=N_1\times N_2\times N_3=2\times 120\times 4=960\text{ 种}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相邻问题用捆绑法、位置受限问题用插空底座法、分步乘法原理的阶乘计算。
2. 核心方法：志愿者先排底座插空法。
3. 避坑指南：

• 容易错用总数减去端点法。如果用 6 个大元素全排列 ${\text{A}}_6^6\times 2=1440$， 再扣除老人在左端 ${\text{A}}_5^5\times 2=240$ 和老人在右端 240， 得到 $1440-240-240=960$。使用此法时务必注意，当老人作为一个整体在端点时，内部老人的 $A_2^2$ 换位不能漏掉。否则会因漏扣而错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学排列组合经典元素受限排队模型，是高考概率统计模块的必考中档基础题。

2. 结论推广: 针对 $m$ 个普通元素与 $n$ 个相互相邻且不居两端的受限特殊元素的排队问题， 其全排列方案总数模型公式可一般化推广为： ${\text{A}}_n^n\cdot {\text{A}}_m^m\cdot {\text{C}}_{m-1}^1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略