2007-北京卷理-06 单-动态边界直线平移截距

本题导读

本题考查线性规划中可行域形状的逆向参数控制问题。题目给出的不等式组中前三项构筑了一个固定的直角三角形底座，第四项是一条斜率为 $-1$、纵截距为 $a$ 的动态平移直线。核心要求是平移这根直线截该底座后，割出的公共重叠区域仍旧是一个“三角形”，需要通过分析边界的临界位置求解 $a$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 若不等式组 $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ 2x+y\le 2\\ y\ge 0\\ x+y\le a\end{array}$ 表示的平面区域是一个三角形，则 $a$ 的取值范围是()

A. $a\ge \frac{4}{3}$　　　B. $0<a\le 1$　　　C. $1\le a\le \frac{4}{3}$　　　D. $0<a\le 1$ 或 $a\ge \frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制固定三角形底座：

• 忽略含参数的第四式，由前三式 $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ 2x+y\le 2\\ y\ge 0\end{array}$ 围成一个确定的封闭平面图形。
• 绘制三条固定直线： $l_1:y=x$； $l_2:y=-2x+2$； $l_3:y=0$（ $x$ 轴）。
• 算出这三条直线的两两交点：原点 $O(0,0)$、 $x$ 轴截距点 $M(1,0)$、 以及 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点 $N\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$。这三点构成一个标准的固定三角形区域 $△OMN$。

2. 剖析动态截线的几何吞噬规律：

• 第四式 $x+y\le a$ 表示直线 $l_4:y=-x+a$ 下方的半平面区域。这是一条斜率为 $-1$，在 $y$ 轴上截距为 $a$ 的平行移动直线。
• 当 $a$ 连续变大时， 直线从左下向右上平移， 逐渐侵入并覆盖整个固定三角形 $△OMN$。

3. 锁定“三角形”图形的两个临界极端状态：

• 状态一（未侵蚀完成态）：当直线刚刚从原点出发切过，在把固定三角形切开时。如果直线处于原点与某个临界顶点之间，被切下的左下角区域恰好是个小三角形。

• 状态二（完全吞噬态）：当直线平移到极右上侧，将整个固定三角形 $△OMN$ 完全包裹在它的下方。此时，四个不等式的公共区域就是原来的固定三角形本身，形状保持为三角形不变。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：首先，我们分析并绘制出由前三个不含参不等式所锁定的固定几何区域： ${\Omega }_0:\{\begin{array}{l}x-y\ge 0⟹y\le x\\ 2x+y\le 2⟹y\le -2x+2\\ y\ge 0\end{array}$

在直角坐标系中精密绘制这三条边界边界线，并求解它们的几何顶点坐标：

• 直线 $y=x$ 与 $y=0$ 的交点为原点： $O(0,0)$；
• 直线 $y=-2x+2$ 与 $y=0$ 的交点为： $M(1,0)$；
• 联立方程组 $\{\begin{array}{l}y=x\\ 2x+y=2\end{array}⟹3x=2⟹x=\frac{2}{3}$， 得到顶部交点： $N\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$。

前三式在平面上围成了一个由 $O(0,0),M(1,0),N\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 为顶点的固定直角三角形区域 $△OMN$。

现在引入第四个含参不等式 $x+y\le a$， 它代表直线 $l_4:x+y=a$ 靠近左下方的一侧半平面。 直线 $l_4$ 的斜率为 $-1$， 随着参数 $a$ 的大小变化， 直线沿垂直于自身的方向发生平行移动。 要想让四个不等式联合覆盖的公共重叠区域仍旧保持为一个“三角形”， 必须通过图形演变分为两种合法的极限空间分布：

状态一：直线 $l_4$ 将 $△OMN$ 切出一个局部的左下角三角形

当直线从原点开始向右上移动， 逐渐切开固定三角形。 此时公共重叠区域由 $y=0$（底边）、 $y=x$（左斜边）以及动态截线 $x+y=a$（右斜边）共同围成。 要保证切出的图形不呈现出四边形， 动态直线在向右上平移时， 其右侧越界点绝不能超过固定三角形下底边的右端点 $M(1,0)$。 我们将点 $M(1,0)$ 代入直线方程中以求得这个发生形状质变的临界分界点： $1+0=a⟹a=1$ 由于区域必须存在且为三角形， 直线必须在原点右侧， 故此时参数范围满足： $0<a\le 1$

(注：当 $1<a<\frac{4}{3}$ 时， 直线将穿过点 $M(1,0)$ 但还未越过顶点 $N$， 此时切出的图形会退化为一个平面四边形， 不合题意。)

状态二：直线 $l_4$ 将整个 $△OMN$ 完全吞噬包裹

当直线继续向右上方平移， 直到把固定三角形最右上角的最后一个顶点 $N\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 也彻底甩在直线左下方侧时。 此时， 第四个不等式对原本的 $△OMN$ 已经不构成任何有效的截断裁剪（覆盖区域涵盖了整个三角形）。 此时四个不等式组公共交集区域完全退化退回为最初的固定三角形 $△OMN$ 自身， 形状依旧完美保持为三角形。 我们将最远端顶点 $N\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ 代入直线方程中， 求解这第二个关键的临界安全边界： $\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=a⟹a=\frac{4}{3}$ 所以， 只要参数 $a$ 大于或等于这个远端最大截距， 整个三角形就会被无损保留下来： $a\ge \frac{4}{3}$

综合上述状态一与状态二的并集区域， 实数 $a$ 的最终合法取值范围是： $0<a\le 1\text{或}a\ge \frac{4}{3}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面可行域边界线的直角定位、斜率为 $-1$ 的平行直线系的移动几何轨迹、凸多边形被直线切割时的拓扑形状质变点分析。
2. 核心方法：数形结合边界平移法、顶点临界带入法。
3. 避坑指南：

• 本题是全卷选择题里最具杀伤力的压轴题。极易漏掉 $a\ge 4/3$ 这一“完全包含”的隐藏状态而错选 B 选项。一定要树立动态眼光：不等式组符号表示的是交集，当含参直线退化为非无效约束时，原图形的三角形状态同样合法存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是在传统平面线性规划求最值的常规题型底座上，融入了“新定义拓扑几何形状控制”的创新压轴好题，考查数形结合的深度。

2. 结论推广: 针对任意固定凸 $m$ 边形与含参平移截线 $Ax+By\le a$ 的交集形状控制问题， 其截出三角形的边界点必然在原点的出港一侧与全包围的远端最高顶点处双向产生。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 03.01 不等式解法体系