2007-北京卷理-08 单-复合函数代数恒等变形

本题导读

本题考查函数的综合性质判定（奇偶性、单调性与复合递增）。题目给出了三个各具特色的初等函数，要求找出能够同时让“甲、乙、丙”三个命题全部为真的唯一函数，需要采用严密的函数平移换元与性质排查法。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 对于函数① $f(x)=\lg (|x-2|+1)$， ② $f(x)=(x-2{)}^2$， ③ $f(x)=\cos (x+2)$， 判断如下三个命题的真假： 命题甲： $f(x+2)$ 是偶函数； 命题乙： $f(x)$ 在 $(-\infty ,2)$ 上是减函数，在 $(2,+\infty )$ 上是增函数； 命题丙： $f(x+2)-f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是()

A. ①③　　　　　　　B. ①②　　　　　　　C. ③　　　　　　　D. ②

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依命题甲进行首轮筛选（关于 $x=2$ 对称）：

• 命题甲“ $f(x+2)$ 是偶函数”意味着 $f(-x+2)=f(x+2)$，即原函数 $f(x)$ 自身的图象必须关于垂直直线 $x=2$ 严格轴对称。
• 代入三个函数检查关于 $x=2$ 的对称性： ① $f(x)=\lg (|x-2|+1)$ 含有绝对值 $|x-2|$，显然关于 $x=2$ 对称； ② $f(x)=(x-2{)}^2$ 为顶点在 $(2,0)$ 的抛物线，关于 $x=2$ 对称； ③ $f(x)=\cos (x+2)$ 的对称轴为 $x+2=k\pi ⟹x=k\pi -2$，当 $k=1$ 时对称轴为 $x=\pi -2\ne 2$。由此直接排除③。

2. 依命题乙进行次轮筛选（先减后增）：

• 命题乙要求函数以 $x=2$ 为分界点，左侧单调递减，右侧单调递增。
• 检查剩下的①和②： ① $f(x)=\lg (|x-2|+1)$，当 $x>2$ 时， $y=\lg (x-1)$ 单调递增；当 $x<2$ 时， $y=\lg (3-x)$ 单调递减。符合条件。 ② $f(x)=(x-2{)}^2$ 开口向上且对称轴为 $x=2$，完美符合左减右增。符合条件。

3. 依命题丙进行终极对决（构造求导或单调性）：

• 命题丙要求新函数 $g(x)=f(x+2)-f(x)$ 在全域 $\mathbf{R}$ 上单调递增。

• 分别将①和②代入命题丙，通过直接求导或者解析式化简判定单调性，锁定最终胜者。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：我们紧扣三个命题的数学本质， 采取逐层过滤淘汰法：

第一步：利用“命题甲”筛选

命题甲： $f(x+2)$ 是偶函数。 令 $g(x)=f(x+2)$。若 $g(x)$ 为偶函数， 则满足 $g(-x)=g(x)⟹f(-x+2)=f(x+2)$。 这表明原函数 $y=f(x)$ 的几何图象关于直线 $x=2$ 严格轴对称。

• 对于函数①： $f(x)=\lg (|x-2|+1)$。因为 $f(4-x)=\lg (|(4-x)-2|+1)=\lg (|2-x|+1)=f(x)$， 关于 $x=2$ 对称， 命题甲为真；
• 对于函数②： $f(x)=(x-2{)}^2$。显然是关于 $x=2$ 对称的抛物线， 命题甲为真；
• 对于函数③： $f(x)=\cos (x+2)$。其图象关于其对称轴 $x=k\pi -2$ ($k\in \mathbf{Z}$) 对称。令 $k\pi -2=2⟹k\pi =4$， 由于 $k$ 必须为整数， 方程无整数解。因此 $x=2$ 绝不是它的对称轴， 命题甲为假。 首轮淘汰函数③。排除 A 项和 C 项。

第二步：利用“命题乙”验证

命题乙： $f(x)$ 在 $(-\infty ,2)$ 上是减函数，在 $(2,+\infty )$ 上是增函数。

• 对于函数①： 当 $x>2$ 时， $f(x)=\lg (x-1)$， 外层对数与内层线性均为增， 故整体单调递增；由于关于 $x=2$ 对称， 则在 $x<2$ 上必然单调递减。命题乙为真；
• 对于函数②： 二次函数开口向上， 顶点横坐标为 2， 显然在对称轴左侧递减、右侧递增。命题乙为真。 函数①和②均能顺利通过第二轮核校。

第三步：利用“命题丙”进行终极判定

命题丙： 设新组合函数 $G(x)=f(x+2)-f(x)$， 要求其在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增。

• 对函数②进行代入验证： 将 $f(x)=(x-2{)}^2$ 代入 $G(x)$ 中： $G(x)=f(x+2)-f(x)=[(x+2)-2{]}^2-(x-2{)}^2$ 展开并利用平方差公式化简： $G(x)=x^2-(x^2-4x+4)=4x-4$ 显然， $G(x)=4x-4$ 是一条斜率为 4 的一元一次直线方程。 因为斜率 $4>0$， 所以函数 $G(x)$ 在全体实数域 $(-\infty ,+\infty )$ 上是一个严格的单调递增函数。 因此， 函数②完全可以让命题丙为真。

• 对函数①进行代入核校（用于彻底排除，确保严谨）： 将 $f(x)=\lg (|x-2|+1)$ 代入。 当 $x$ 足够大时（如 $x>2$ ）， $f(x)=\lg (x-1)$， 此时： $G(x)=\lg (x+1)-\lg (x-1)=\lg \left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\lg \left(1+\frac{2}{x-1}\right)$ 当 $x$ 逐渐变大时， 分式 $\frac{2}{x-1}$ 严格单调递减， 导致复合对数函数 $G(x)$ 呈现单调递减姿态。 这与命题丙要求的“全域增函数”完全相悖， 故函数①让命题丙为假。

综上所述， 能够使三个命题均为真的函数有且只有函数②。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象左右平移对奇偶性的改变（ $f(x+2)$ 为偶 $⟹f(x)$ 关于 $x=2$ 对称）、复合超越函数单调性的导数与分式控制、一次函数斜率判定。
2. 核心方法：多重条件逐步过滤排除法、函数构造法。
3. 避坑指南：

• 命题甲是快速切入的终极钥匙。“ $f(x+2)$ 是偶函数”这种结构在高考中极具迷惑性，直接将其转化为“ $f(x)$ 关于 $x=2$ 轴对称”这一几何常识，能瞬间秒杀掉复杂的三角函数③，从而将排查范围缩小一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是经典的函数性质多维度综合筛选大题，完美考查了高中函数的三大核心基石：对称、增减、复合。

2. 结论推广: 若定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数满足 $f(x+a)$ 为偶函数， 且在 $(a,+\infty )$ 上单调递增， 则对于任意的 $\Delta >0$， 新构造函数 $G(x)=f(x+\Delta )-f(x)$ 在 $x>a$ 区域内， 只有当原函数 $f(x)$ 的二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)>0$（即函数为凹函数，如二次函数）时， $G(x)$ 方可保持单调递增。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值