2007-北京卷理-10 填-二次函数最值离散化求解

本题导读

本题考查数列前 $n$ 项和与通项公式的转换，以及新构造非线性数列最值项的确定。第一空利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求解通项；第二空将目标数列转化为关于 $n$ 的二次函数结构，通过寻找离散整数自变量的顶点位置锁定数值最小项。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 若数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2-10n(n=1,2,3,\dots )$，则此数列的通项公式为________；数列 $\{n{a}_n\}$ 中数值最小的项是第________项。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空（求通项）：

• 当 $n=1$ 时， $a_1=S_1=1^2-10\times 1=-9$。
• 当 $n\ge 2$ 时， $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2-10n)-[(n-1{)}^2-10(n-1)]$，化简后检查是否可以同 $n=1$ 合并。
• 或者直接利用 $S_n=A{n}^2+Bn$ 必为等差数列的特征， 公差 $d=2A=2$，首项 $a_1=A+B=-9$， 直接写出通项。

2. 第二空（求新数列最小值）：

• 记新数列 $b_n=n{a}_n$。将第一空求得的 $a_n$ 代入， 得到 $b_n=n(2n-11)=2n^2-11n$。

• 这是一个关于 $n$ 的正序二次函数。求出该抛物线的几何对称轴 $n_0=-\frac{-11}{2\times 2}=\frac{11}{4}=2.75$。

• 离散的项数 $n$ 必须为正整数。寻找距离对称轴 2.75 最近的整数，通过比对 $n=3$ 和 $n=2$ 的函数值， 确定绝对最小值项。

✅【答案】

点击查看答案

$a_n=2n-11$ ； 3

✍【详细解析】

Abstract

解：第一步：求解通项公式 $a_n$ 因为数列的前 $n$ 项和为 $S_n=n^2-10n$，

• 当 $n=1$ 时： $a_1=S_1=1^2-10\times 1=-9$
• 当 $n\ge 2$ 时： $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2-10n)-\left[(n-1{)}^2-10(n-1)\right]$ 展开中括号内部多项式： $a_n=n^2-10n-\left(n^2-2n+1-10n+10\right)=n^2-10n-n^2+12n-11=2n-11$ 代入 $n=1$ 检测： $2\times 1-11=-9=a_1$， 完全符合。 所以， 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=2n-11$

第二步：求解新数列 $\{n{a}_n\}$ 的数值最小项 设新构成的复合数列为 $b_n=n{a}_n$。 将求得的 $a_n=2n-11$ 代入： $b_n=n(2n-11)=2n^2-11n$ 要想寻找该数列中数值最小的项， 我们将自变量 $n$ 连续化， 视为关于 $n$ 的二次函数 $y=2n^2-11n$ ($n\ge 1$)。 因为二次项系数 $2>0$， 抛物线开口向上， 其几何对称轴方程为： $n_0=-\frac{-11}{2\times 2}=\frac{11}{4}=2.75$

因为数列的项数 $n$ 必须严格限制在正整数集 ${\mathbf{N}}^{\ast }$ 内， 根据二次函数的单调对称性， 离散序列的绝对最小值必然在距离几何对称轴 $n_0=2.75$ 最近的整数项处取得。 在 2.75 两侧相邻的整数分别为 $n=2$ 和 $n=3$：

• 距离检测： $|3-2.75|=0.25$； $|2-2.75|=0.75$。 显然， 整数 3 距离对称轴更近。我们通过计算两项的真实数值进行严密核校：
• 当 $n=2$ 时： $b_2=2\times 2^2-11\times 2=8-22=-14$；
• 当 $n=3$ 时： $b_3=2\times 3^2-11\times 3=18-33=-15$。 比对发现 $-15<-14$， 故最小值确实在 $n=3$ 处截出。

因此，数值最小的项是第 3 项。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由前 $n$ 项和求通项（公式 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 且必须检验 $n=1$）、二次函数离散整点最值向对称轴的贴近度判定。
2. 核心方法：二次函数对称轴离散邻项比对法。
3. 避坑指南：

• 求解第二空时，切记项数 $n$ 只能取正整数，绝不能直接写对称轴 2.75 或 $\frac{11}{4}$。二次函数的最值点如果不是整数，必须采取“就近原则”把两侧的整数代入算一下，看哪个更小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查等差数列通项求法与二次函数在正整数集上求最值综合交汇的经典常考题型。

2. 结论推广: 针对任何形如 $b_n=A{n}^2+Bn$ ($A>0$) 的二次离散数列求最小值项问题， 其最优项数 $n^{\ast }$ 必然满足 $n^{\ast }=\text{round}\left(-\frac{B}{2A}\right)$（即对几何对称轴进行四舍五入取整）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 05.02 函数的四大性质