2007-北京卷理-12 填-集合交集为空集充要条件

本题导读

本题考查一元一次绝对值不等式与一元二次不等式的求解，以及集合间交集为空集的逻辑关系。核心在于通过数轴准确表示出两个集合对应的实数区间，并根据交集为空建立关于未知参数 $a$ 的不等式组。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 已知集合 $A=\{x\mid |x-a|\le 1\}$， $B=\{x\mid x^2-5x+4\ge 0\}$。若 $A\cap B=\varnothing$，则实数 $a$ 的取值范围是________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $A$：解绝对值不等式 $|x-a|\le 1⟹-1\le x-a\le 1⟹a-1\le x\le a+1$。
2. 化简集合 $B$：对二次三项式因式分解 $(x-1)(x-4)\ge 0$，解得 $x\le 1$ 或 $x\ge 4$。
3. 根据空集条件建立边界不等式：

• 集合 $A$ 表示一个长度为 2 的闭区间 $[a-1,a+1]$。

• 集合 $B$ 表示数轴上 1 的左侧及 4 的右侧区域。

• 要满足 $A\cap B=\varnothing$， 闭区间 $[a-1,a+1]$ 必须被完全塞在 1 到 4 之间的开区间内， 即满足 $1<a-1$ 且 $a+1<4$。

✅【答案】

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$(2,3)$ （或写成 $2<a<3$）

✍【详细解析】

Abstract

解：首先， 求解并化简集合 $A$： 由 $|x-a|\le 1$， 去掉绝对值符号展开得： $-1\le x-a\le 1$ 各项同时加上 $a$， 得到集合 $A$ 的区间表达式： $A=[a-1,a+1]$

其次， 求解并化简集合 $B$： 由一元二次不等式 $x^2-5x+4\ge 0$， 对左侧进行十字相乘因式分解： $(x-1)(x-4)\ge 0$ 根据“大于取两边，小于取中间”的口诀， 解得集合 $B$ 的区间表达式： $B=(-\infty ,1]\cup [4,+\infty )$

题目给定约束条件： $A\cap B=\varnothing$。 映射到数轴的几何结构上， 意味着闭区间 $[a-1,a+1]$ 与集合 $B$ 的两个外展半轴区域绝不能有任何重叠部分。

and the set A as a moving closed interval [a-1, a+1] strictly inside the open interval (1, 4)]

因此， 整个闭区间 $[a-1,a+1]$ 必须被严格、完整地包裹在 1 到 4 之间的空档开区间 $(1,4)$ 内部。 对接边界端点， 必须同时满足两个刚性不等式： $\{\begin{array}{l}a-1>1\\ a+1<4\end{array}$ (注：由于集合 $B$ 的端点 1 和 4 是闭边界，含有等号，所以为了不发生任何重叠，集合 $A$ 的端点必须严格大于 1 且严格小于 4，不能带有等号。)

解这个一元一次不等式组： $\{\begin{array}{l}a>2\\ a<3\end{array}⟹2<a<3$

所以， 实数 $a$ 的取值范围是 $(2,3)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式与二次不等式标准解集的转化、数轴上“交集为空”时端点不等号含不含等号的精密判定。
2. 核心方法：数轴区间几何对照法。
3. 避坑指南：

• 端点处是否带等号是本题最容易翻车的失分点。因为集合 $B$ 包含了端点 1（ $x\le 1$），如果令 $a-1=1⟹a=2$，此时集合 $A$ 的左端点为 1，两个集合就共同拥有了元素 1， 交集就不为空了。因此边界处必须是严格的不等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学必修一集合运算与不等式性质的经典交汇填空题。

2. 结论推广: 若闭区间 $[m,n]$ 与无穷区间 $(-\infty ,p]\cup [q,+\infty )$ ($p<q$) 的交集为空集， 则其充要条件模型永远收敛于严格不等式组： $\{\begin{array}{l}m>p\\ n<q\end{array}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系
• 01.01集合的含义、表示与基本运算