2007-北京卷理-13 填-二倍角公式

本题导读

本题是一道依托我国古代数学文化“赵爽弦图”构建的三角函数填空题。核心在于利用大、小正方形的面积求出直角三角形的各边边长，再通过直角三角形内角的三角函数定义配合二倍角公式求解 $\cos 2\theta$。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 (如图). 如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 $\theta$，那么 $\cos 2\theta$ 的值等于________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出各几何实体的边长：

• 大正方形面积为 $25⟹$ 大正方形边长（即直角三角形的斜率/斜边 $c$）为 $\sqrt{25}=5$。
• 小正方形面积为 $1⟹$ 小正方形边长为 $\sqrt{1}=1$。

2. 构建直角三角形的两直角边方程组：

• 设全等直角三角形的长直角边为 $a$，短直角边为 $b$。
• 根据弦图拼接特征，小正方形边长恰好等于两直角边之差： $a-b=1$。
• 根据勾股定理，斜边平方： $a^2+b^2=c^2=5^2=25$。
• 联立方程组求出 $a$ 和 $b$ 的具体数值。

3. 计算三角函数及二倍角：

• 较小的锐角为 $\theta$， 对应的正弦值 $\sin \theta =\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{b}{c}$， 余弦值 $\cos \theta =\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\frac{a}{c}$。

• 套用余弦二倍角公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{7}{25}$ （或 0.28）

✍【详细解析】

Abstract

解：设四个全等的直角三角形的长直角边为 $a$， 短直角边为 $b$， 斜边为 $c$。 由题意， 大正方形的边长即为直角三角形的斜边 $c$： $c=\sqrt{25}=5$ 中间重合留白的小正方形边长为： $d=\sqrt{1}=1$

根据赵爽弦图的平面几何割补构造特征， 中间小正方形的边长刚好对应着直角三角形长、短两直角边的差值： $a-b=1⟹a=b+1\text{(1)}$ 根据直角三角形的勾股定理， 满足： $a^2+b^2=c^2=5^2=25\text{(2)}$

将①式代入②式中， 消除未知数 $a$， 建立关于 $b$ 的一元二次方程： $(b+1{)}^2+b^2=25⟹b^2+2b+1+b^2=25$ $2b^2+2b-24=0$ 两边同除以 2： $b^2+b-12=0$ 因式分解得： $(b+4)(b-3)=0$ 因为直角三角形的边长必须严格大于 0， 舍去负根 $b=-4$， 解得短直角边为： $b=3$ 代回①式求得长直角边为： $a=3+1=4$

在直角三角形中， 较小的锐角 $\theta$ 所对的边必然是较短的直角边 $b=3$。 根据锐角三角函数的直角定义： $\sin \theta =\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{b}{c}=\frac{3}{5}$ $\cos \theta =\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\frac{a}{c}=\frac{4}{5}$

题目要求计算二倍角 $\cos 2\theta$ 的值， 套用余弦二倍角公式： $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ={\left(\frac{4}{5}\right)}^2-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：赵爽弦图的经典几何代数关系（斜边平方等于大面积、直角边差等于小正方形边长）、余弦二倍角通式的展开计算。
2. 核心方法：勾股定理方程组法、二倍角代入法。
3. 避坑指南：

• 确定 $\theta$ 对应的对边时，务必看清题干中“较小的锐角”这一限定前提。大边对大角，小边对小角，所以 $\theta$ 对着的边必须是短边 3。如果看错，会导致算出来的 $\cos 2\theta$ 带有错误的负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自中国古代数学《周髀算经》中关于勾股定理的证明图案，是传统文化入题的典型代表。

2. 结论推广: 在任意标准赵爽弦图中， 若大正方形面积为 $S_{\text{大}}$， 小正方形面积为 $S_{\text{小}}$， 较小锐角为 $\theta$， 则利用面积差可直接导出二倍角的极简通式： $\sin 2\theta =\frac{S_{\text{大}}-S_{\text{小}}}{S_{\text{大}}}$，进而通过平方关系求出 $\cos 2\theta =\frac{\sqrt{S_{\text{大}}^2-(S_{\text{大}}-S_{\text{小}}{)}^2}}{S_{\text{大}}}$（本题直接用 $\cos 2\theta =\frac{\sqrt{d^2(4c^2-d^2)}}{c^2}$ 亦可）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式