2007-北京卷理-17 解-函数在闭区间上最值

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线方程）、利用导数研究函数的单调性的综合运用。核心在于把握各问之间的逻辑递进，逐问建立条件与结论之间的转化路径。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+1$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 求出 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$。
• 计算切点处的导数值 $f^{\prime }(1)$，此即为切线的斜率 $k$。
• 计算切点的纵坐标 $f(1)$。
• 利用点斜式方程 $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$ 展开并化简为一般式。

2. 第二问：

• 令 $f^{\prime }(x)=0$ 求出区间 $[-1,2]$ 内部的驻点（极值疑点）。

• 列表分析 $f^{\prime }(x)$ 在区间各分段上的正负，确定 $f(x)$ 的单调性。

• 比较各极值与区间端点处的函数值 $f(-1),f(0),f(2)$，锁定的最大值与最小值。

✅【答案】

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$（1）3x+y+2=0.（2）(x-2)2+y2=8.（3）x22-y22=1，x⩾\surd 2.$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）对原函数求导，得： $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$

当 $x=1$ 时，切线的斜率 $k$ 为： $k=f^{\prime }(1)=3\times 1^2-6\times 1=-3$ 计算切点的纵坐标： $f(1)=1^3-3\times 1^2+1=-1$ 即切点坐标为 $(1,-1)$。

根据点斜式直线方程，曲线在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为： $y-(-1)=-3(x-1)$ $y+1=-3x+3$ 化简得通用一般式方程： $3x+y-2=0$

（2）令 $f^{\prime }(x)=0$，即： $3x^2-6x=0⟹3x(x-2)=0$ 解得驻点为 $x=0$ 或 $x=2$。

列表分析函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,2]$ 上的单调性变化规律：

$x$	-1	(-1, 0)	0	(0, 2)	2
$f^{\prime }(x)$	/	+	0	-	0
$f(x)$	-3	↗ 单调递增	1 (极大值)	↘ 单调递减	-3

计算各关键临界点的函数值：

• 当 $x=-1$ 时， $f(-1)=(-1{)}^3-3\times (-1{)}^2+1=-3$；
• 当 $x=0$ 时， $f(0)=0^3-3\times 0^2+1=1$；
• 当 $x=2$ 时， $f(2)=2^3-3\times 2^2+1=-3$。

比较上述各点数值，可得： 最大值为 $1$；最小值为 $-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（ $f^{\prime }(x_0)$ 对应切线斜率）、利用导数正负号判定函数升降区间、闭区间最值由端点及极值共同决定。
2. 核心方法：导数单调性列表法。
3. 避坑指南：

• 第一问求切线方程时，需注意题目给出的条件是“在点”还是“过点”。“在点”表明该点锁死为切点，直接代入求导即可；“过点”则需先设切点。

• 第二问求最值时，切忌只计算极值点而忽略区间端点的值，必须进行全盘比对。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自高中数学选修2-2导数及其应用章节的经典基础大题。

2. 结论推广：对于任意三次函数 $f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$，其导函数必为二次函数，在闭区间上的最值讨论都可以通过对导函数求根后划分单调区间的方式标准解决。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值