2007-北京卷理-20 解-集合中元素个数不等式论证映射

本题导读

本题是一道构思极其精巧的数论与集合新定义交汇的压轴大题。第一问要求理解性质 $P$ 的定义（任何元素的相反数不属于集合）并写出对应的数对集合；第二问通过性质 $P$ 对 0 元素和对偶元素存在性的限制，证明有序数对个数的上限；第三问要求利用单射（一一映射）或对置变换论证集合 $S$ 与集合 $T$ 的元素个数 $m$ 与 $n$ 之间的刚性恒等关系。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 已知集合 $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_k\}$ ($k\ge 2$), 其中 $a_i\in \mathbf{Z}$ ($i=1,2,\dots ,k$). 由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合: $S=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a+b\in A\}$; $T=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a-b\in A\}$, 其中 $(a,b)$ 是有序数对, 集合 $S$ 和 $T$ 中的元素个数分别为 $m$ 和 $n$. 若对于任意的 $a\in A$, 总有 $-a\notin A$, 则称集合 $A$ 具有性质 $P$.

(1) 检验集合 $\{0,1,2,3\}$ 与 $\{-1,2,3\}$ 是否具有性质 $P$, 并对其中具有性质 $P$ 的集合, 写出相应的集合 $S$ 和 $T$;

(2) 对任何具有性质 $P$ 的集合 $A$, 证明: $n\le \frac{k(k-1)}{2}$;

(3) 判断 $m$ 和 $n$ 的大小关系, 并证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• 性质 $P$ 的核心红线：若 $a\in A$，则其相反数 $-a$ 绝对不能在 $A$ 中。
• 检查 $\{0,1,2,3\}$：元素 0 的相反数是 0，而 0 属于该集合，这触发了自反冲突（ $0\in A$ 且 $-0=0\in A$）， 故不具性质 $P$。
• 检查 $\{-1,2,3\}$：各元素的相反数分别为 $1,-2,-3$，均不在集合内，符合性质 $P$。通过对所有两数和、两数差进行查表比对，列出符合要求的数对。

2. 第二问：

• 集合 $A$ 具有性质 $P$，意味着 $0\notin A$（因为若 $0\in A⟹-0=0\in A$，不合题意）。
• 集合 $T$ 中的数对 $(a,b)$ 满足 $a-b\in A$。
• 分析 $a=b$ 的特殊情况：若 $a=b⟹a-b=0\in A$，由于已证 $0\notin A$，故 $a=b$ 绝不可能成立。即 $T$ 中没有任何形如 $(a,a)$ 的数对。
• 分析 $a$ 与 $b$ 互为相反数的情况：由性质 $P$ 知， $a$ 与 $-a$ 不可能同时在 $A$ 中，故 $b\ne -a$。
• 通过对 $a-b=c⟹a-c=b$ 的对称映射，论证在 $A$ 中任取两个不同的元素 $\{a,b\}$， $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 中至多有一个属于 $T$， 从而锁定组合数的上限。

3. 第三问：

• 猜想 $m=n$。要证明两个离散集合的元素个数严格相等， 最硬核的方案是建立一种**双射（一一映射）**关系。

• 观察两个集合的定义特征： $S$ 中的数对满足 $a+b=c\in A$。 $T$ 中的数对满足 $x-y=z\in A$。

• 变形 $a+b=c⟹c-b=a$ 或 $c-a=b$。

• 这启发我们构造一个从 $S$ 到 $T$ 的映射规则：对任意 $(a,b)\in S$， 令变换结果为 $(a+b,b)$。因为 $a+b=c\in A$，且 $(a+b)-b=a\in A$，说明新数对必然属于 $T$。证明这种变换是双向唯一且没有遗漏的，即可断定两集合势（个数）相等。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：（1）我们首先对两个集合进行性质 $P$ 的对齐检验：

• 对于集合 $A_1=\{0,1,2,3\}$： 取其中的元素 $a=0\in A_1$。 其相反数为 $-a=-0=0$。 显而易见， 此时满足 $-a\in A_1$。 这违背了性质 $P$ 要求“总有 $-a\notin A$” 的底线硬性硬性制约。 所以， 集合 $\{0,1,2,3\}$ 不具有性质 $P$。

• 对于集合 $A_2=\{-1,2,3\}$：

• 元素 $-1$ 的相反数为 1， $1\notin A_2$；
• 元素 $2$ 的相反数为 $-2$， $-2\notin A_2$；
• 元素 $3$ 的相反数为 $-3$， $-3\notin A_2$。 对任意 $a\in A_2$， 均有 $-a\notin A_2$。 所以， 集合 $\{-1,2,3\}$ 具有性质 $P$。

针对具有性质 $P$ 的集合 $A_2=\{-1,2,3\}$， 采用全项列举法书写集合 $S$ 与 $T$：

• 求解集合 $S$ （要求 $a+b\in A_2$）： 通过双层穷举两两相加：

• $(-1)+3=2\in A_2⟹(-1,3)\in S$；

• $3+(-1)=2\in A_2⟹(3,-1)\in S$。 经其余项排查（如 $2+3=5\notin A_2,(-1)+(-1)=-2\notin A_2$ 等）， 符合要求的数对有且仅有这两组。 故： $S=\{(-1,3),(3,-1)\}$。

• 求解集合 $T$ （要求 $a-b\in A_2$）： 通过双层穷举两两相减：

• $2-3=-1\in A_2⟹(2,3)\in T$；
• $3-2=1\notin A_2$；
• $2-(-1)=3\in A_2⟹(2,-1)\in T$；
• $(-1)-2=-3\notin A_2$；
• $3-(-1)=4\notin A_2$；
• $(-1)-3=-4\notin A_2$。 经全项排查， 符合要求的数对有且仅有这两组。 故： $T=\{(2,3),(2,-1)\}$。

（2）证明：因为集合 $A$ 具有性质 $P$， 首先证明元素 $0\notin A$： 若 $0\in A$， 则其相反数 $-0=0\in A$， 这与性质 $P$ 发生刚性冲突。 故 $0$ 绝对不属于集合 $A$。

对于集合 $T$ 中的任意有序数对 $(a,b)$， 满足 $a\in A,b\in A$， 且 $a-b\in A$。

• 断定 $a\ne b$： 若 $a=b$， 则 $a-b=0$。根据前面的结论 $0\notin A$， 导致 $a-b\notin A$， 这与 $T$ 的定义矛盾。 因此， 集合 $T$ 中绝对不存在形如 $(a,a)$ 的相同元素有序数对。

• 断定 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 绝不能同时属于 $T$： 利用反证法。假设存在两个互异元素 $a,b\in A$， 使得 $(a,b)\in T$ 且 $(b,a)\in T$ 同时成立。 根据集合 $T$ 的定义， 必须同时满足： $\{\begin{array}{l}a-b=c_1\in A\text{(3)}\\ b-a=c_2\in A\text{(4)}\end{array}$ 由③式和④式可直接导出： $c_2=-(a-b)=-c_1$。 由于假设中 $c_1\in A$ 且 $c_2\in A$， 这意味着 $c_1$ 与其相反数 $-c_1$ 同时属于集合 $A$。 这再次与集合 $A$ 具有性质 $P$ 的核心红线相违背。 因此， 假设不成立。即：对于集合 $A$ 中的任意一对互异元素 $a$ 与 $b$， 有序数对 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 中至多只能有一个属于集合 $T$。

因为集合 $A$ 中总共含有 $k$ 个互异元素， 任意挑出两个不同元素组成的无序对组合数一共有 ${\text{C}}_k^2=\frac{k(k-1)}{2}$ 种。 由于每种无序对在集合 $T$ 中至多只能贡献一个合法的有序数对， 且 $T$ 中没有元素相同的数对。 所以， 集合 $T$ 的元素总个数 $n$ 必然满足上限约束： $n\le \frac{k(k-1)}{2}$

（3）选择结论： $m=n$。 证明：我们通过建立集合 $S$ 与集合 $T$ 之间的一一单射映射关系来论证它们元素个数的完全相等。

构造一个从集合 $S$ 到集合 $T$ 的映射关系 $f$： 对于集合 $S$ 中的任意一个有序数对 $(a,b)$， 依据定义满足 $a\in A,b\in A$ 且 $a+b\in A$。 我们令其对应的变换输出数对为： $f(a,b)=(a+b,b)$

下面验证该输出数对是否合规地属于集合 $T$： 设 $x=a+b,y=b$。

• 因为 $(a,b)\in S⟹a+b\in A$， 故第一维分量 $x\in A$ 成立；
• 第二维分量 $y=b\in A$ 显然成立；
• 计算两维分量之差： $x-y=(a+b)-b=a$。因为 $a\in A$， 故 $x-y\in A$ 成立。 根据集合 $T$ 的标准特征定义， 新数对 $(a+b,b)$ 完美地属于集合 $T$。 这说明， 映射 $f$ 是一个从集合 $S$ 到集合 $T$ 的合法映射。

接下来， 我们构造其反向逆变换映射 $g$： 对于集合 $T$ 中的任意一个有序数对 $(x,y)$， 依据定义满足 $x\in A,y\in A$ 且 $x-y\in A$。 我们令其对应的反向变换输出数对为： $g(x,y)=(x-y,y)$

下面验证该反向输出数对是否合规地属于集合 $S$： 设 $a^{\prime }=x-y,b^{\prime }=y$。

• 因为 $(x,y)\in T⟹x-y\in A$， 故第一维分量 $a^{\prime }\in A$ 成立；
• 第二维分量 $b^{\prime }=y\in A$ 显然成立；
• 计算两维分量之和： $a^{\prime }+b^{\prime }=(x-y)+y=x$。因为 $x\in A$， 故 $a^{\prime }+b^{\prime }\in A$ 成立。 根据集合 $S$ 的标准特征定义， 反向数对 $(x-y,y)$ 完美地属于集合 $S$。 这说明， 逆变换 $g$ 是一个从集合 $T$ 到集合 $S$ 的合法映射。

由于对于任意 $(a,b)\in S$， 顺次执行两次变换： $g[f(a,b)]=g(a+b,b)=((a+b)-b,b)=(a,b)$， 完美回执。 这就严格地证明了， 映射 $f$ 是由集合 $S$ 到集合 $T$ 的一个一一映射（双射）。

根据现代集合论的基本公理， 若两个有限集合之间能够建立起至少一个确定的一一映射， 则这两个集合所包含的元素个数必然恒等。 所以， 集合 $S$ 与集合 $T$ 的元素个数完全相等， 即： $m=n$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合新定义的去外壳化代数翻译、基于性质 $P$ 对 0 元素不在场证明的反证推导、有限离散集元素计数相等的双射（一一映射）构造。
2. 核心方法：反证法、映射法（对置元素变换法）。
3. 避坑指南：

• 第一问验证 $\{0,1,2,3\}$ 时，千万注意数字 0 的相反数依然是 0 这一极隐蔽的常识。很多考生会想当然地认为集合里没有负数就一定满足 $-a\notin A$， 从而把含有 0 的集合也误判为真。

• 第三问证明 $m=n$ 时，如果没有建立映射的意识，去进行繁琐的代数穷举是不可能在高考有限时间内写出严密证明的。牢记“证明个数相等 = 寻找双向无损对应映射 $a+b=c\leftrightarrow c-b=a$” 的代数思维，是攻克此类高级压轴创新题的至高法宝。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考历史上最著名的“新定义抽象集合”压轴神题之一，其第三问的双射构建思想直接吸取了高等数学中《近世代数/群论》中关于封闭性与逆元映射的精髓。

2. 结论推广: 在更广阔的代数域中， 只要有限集合 $A$ 满足对减法和加法存在某种由性质 $P$ 控制的互斥局部对称性， 其对应的和集有序数对数与差集有序数对数恒满足 $m=n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 01.01集合的含义、表示与基本运算