2007-四川卷文-18 解-同角关系与差角求角

本题导读

本题考查同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 已知 $\cos \alpha =\frac{1}{7}$，$\cos (\alpha -\beta )=\frac{13}{14}$，且 $0<\beta <\alpha <\frac{\pi }{2}$．

(1) 求 $\tan 2\alpha$ 的值；

(2) 求 $\beta$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$：$\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$，$\tan \alpha =4\sqrt{3}$。
2. $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{8\sqrt{3}}{1-48}=-\frac{8\sqrt{3}}{47}$。
3. (2) $0<\beta <\alpha$ 给 $0<\alpha -\beta <\frac{\pi }{2}$，$\sin (\alpha -\beta )=\sqrt{1-\frac{169}{196}}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$。
4. $\beta =\alpha -(\alpha -\beta )$：$\cos \beta =\cos \alpha \cos (\alpha -\beta )+\sin \alpha \sin (\alpha -\beta )=\frac{13}{98}+\frac{36}{98}=\frac{1}{2}$。
5. $0<\beta <\frac{\pi }{2}$，故 $\beta =\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

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(1) $-\frac{8\sqrt{3}}{47}$；(2) $\beta =\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，所以 $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$，　$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=4\sqrt{3}$． 由二倍角的正切公式， $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{8\sqrt{3}}{1-48}=-\frac{8\sqrt{3}}{47}$． (2) 由 $0<\beta <\alpha$ 得 $0<\alpha -\beta <\frac{\pi }{2}$，故 $\sin (\alpha -\beta )=\sqrt{1-{\cos }^2(\alpha -\beta )}=\sqrt{1-\frac{169}{196}}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$． 由 $\beta =\alpha -(\alpha -\beta )$ 及两角差的余弦公式， $\cos \beta =\cos \alpha \cos (\alpha -\beta )+\sin \alpha \sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{7}\cdot \frac{13}{14}+\frac{4\sqrt{3}}{7}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{14}=\frac{13}{98}+\frac{36}{98}=\frac{1}{2}$． 又 $0<\beta <\frac{\pi }{2}$，故 $\beta =\frac{\pi }{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角关系与差角求角

核心方法：$\tan \alpha =4\sqrt{3}$，$\tan 2\alpha =-\frac{8\sqrt{3}}{47}$；$\cos \beta =\cos \alpha \cos (\alpha -\beta )+\sin \alpha \sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{2}$

避坑指南：把 $\beta$ 拆成 $\alpha -(\alpha -\beta )$ 是本题题眼；$\alpha -\beta$ 的范围由 $0<\beta <\alpha$ 得，开方前先定符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：给值求角题源自全国卷三角传统题，四川卷用于承上启下

结论推广：推广：已知 $\cos \alpha$ 与 $\cos (\alpha -\beta )$ 求角 $\beta$，一律拆 $\beta =\alpha -(\alpha -\beta )$

方法推广：“角的拆分”是三角求值核心手段：把未知角写成已知角的和差，再用同角关系补齐正弦值

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2012-四川卷文-18 解-三角恒等变换与值域
• 2013-四川卷文-14 填-二倍角求值
• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式