2007-四川卷理-08 单-弦长公式

本题导读

本题考查二次曲线的轴对称性质及弦长求解。利用对称两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上的双重几何约束确定动直线方程，再联立求解交点间的弦长。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 已知抛物线 $y=-x^2+3$ 上存在关于直线 $x+y=0$ 对称的相异两点 $A,B$，则 $|AB|$ 等于()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. $3\sqrt{2}$　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 确定两点连线斜率：因 $A,B$ 关于直线 $y=-x$ 对称，连线 $AB$ 的斜率必为 $k=1$，设直线 $AB$ 的方程为 $y=x+m$．

2. 中点约束求参：联立直线与抛物线方程，用韦达定理表示出中点横坐标，代入 $x+y=0$ 解出 $m$．

3. 弦长计算：得出具体交点坐标或直接套用弦长公式计算 $|AB|$．

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为相异两点 $A,B$ 关于直线 $x+y=0$（即 $y=-x$）对称， 所以直线 $AB$ 与直线 $x+y=0$ 垂直，其斜率为 $k=1$． 设直线 $AB$ 的方程为 $y=x+m$． 联立直线与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}y=x+m\\ y=-x^2+3\end{array}⟹x+m=-x^2+3⟹x^2+x+m-3=0$ 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理得： $x_1+x_2=-1$ 设线段 $AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，则中点横坐标为： $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{1}{2}$ 由于中点 $M$ 落在直线 $y=x+m$ 上，其纵坐标为 $y_0=x_0+m=-\frac{1}{2}+m$． 又因 $M$ 在对称轴 $x+y=0$ 上，满足： $x_0+y_0=0⟹-\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}+m\right)=0⟹m=1$ 将 $m=1$ 代入一元二次方程得 $x^2+x-2=0$，解得 $x_1=-2,x_2=1$． 对应两点坐标为 $A(-2,-1),B(1,2)$． 由两点间距离公式得： $|AB|=\sqrt{(1-(-2){)}^2+(2-(-1){)}^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象关于直线轴对称的代数转化，直线与二次曲线联立，两点间弦长求解。

2. 核心方法：中点定参法。

3. 避坑指南：必须同时满足“斜率垂直”与“中点在已知直线上”两个必要条件；在设直线方程时注意开口方向及联立后的判别式验证（本题 $\Delta =1-4(m-3)=9>0$ 恒成立）。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于解析几何中关于曲线对称性的逆向思维考查，是高考中直线与圆锥曲线截线问题的经典小综合题。

5. 结论推广：若二次曲线 $y=a{x}^2+bx+c$ 上存在两点关于直线 $y=-x$ 对称，则这两点连线的斜率固定为 1，且中点横坐标仅由二次项与一次项系数共同决定。

🔗【关联脉络】

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