2007-四川卷理-12 单-组合计数原理

本题导读

本题是一道将导数的几何意义与古典概型交汇考查的综合题。通过求导确定切线斜率的代数式，将“切线平行”转化为两组随机变量的和相等，进而利用组合计数求出概率。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 已知一组抛物线 $y=\frac{1}{2}a{x}^2+bx+1$，其中 $a$ 为 2, 4, 6, 8 中任取的一个数，$b$ 为 1, 3, 5, 7 中任取的一个数．从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 $x=1$ 交点处的切线相互平行的概率是()

A. $\frac{1}{12}$　　　　　　B. $\frac{7}{60}$　　　　　　C. $\frac{6}{25}$　　　　　　D. $\frac{2}{25}$

🔍【思路分析】

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1. 求导锁定斜率：对抛物线求导，求出 $x=1$ 时的导数表达式 $k=a+b$．

2. 计算总基本事件：确定 $(a,b)$ 的总配对数，进而求出任意抽取两条的总组合数 $N$．

3. 分类计数平行事件：列出两数之和 $a+b$ 所有相等的情况，利用组合数求出满足互为平行的事件数 $M$，计算比值 $P=\frac{M}{N}$．

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

对抛物线方程 $y=\frac{1}{2}a{x}^2+bx+1$ 求导得： $y^{\prime }=ax+b$ 则抛物线在 $x=1$ 处的切线斜率为 $k=y^{\prime }{|}_{x=1}=a+b$． 因为 $a\in \{2,4,6,8\}$ 共有 4 种选择，$b\in \{1,3,5,7\}$ 共有 4 种选择， 根据分步计数原理，该数组共能构成 $4\times 4=16$ 条不同的抛物线． 现在从中任意抽取两条，总的基本事件数（总组合数）为： $N={\text{C}}_{16}^2=\frac{16\times 15}{2}=120\text{ 种}$ 两条抛物线在 $x=1$ 处的切线相互平行，意味着它们的斜率 $k=a+b$ 相等． 分析和值 $k=a+b$ 的组合分布状态：

• 当 $k=3$ 时，对应组 $(2,1)$，共 1 条；
• 当 $k=5$ 时，对应组 $(2,3),(4,1)$，共 2 条；
• 当 $k=7$ 时，对应组 $(2,5),(4,3),(6,1)$，共 3 条；
• 当 $k=9$ 时，对应组 $(2,7),(4,5),(6,3),(8,1)$，共 4 条；
• 当 $k=11$ 时，对应组 $(4,7),(6,5),(8,3)$，共 3 条；
• 当 $k=13$ 时，对应组 $(6,7),(8,5)$，共 2 条；
• 当 $k=15$ 时，对应组 $(8,7)$，共 1 条．

要使抽取的两条抛物线斜率相等，必须且只需从上述相同和值的抛物线中任选 2 条，其成功的事件总数为： $M={\text{C}}_1^2+{\text{C}}_2^2+{\text{C}}_3^2+{\text{C}}_4^2+{\text{C}}_3^2+{\text{C}}_2^2+{\text{C}}_1^2$ $M=0+1+3+6+3+1+0=14\text{ 种}$ 根据古典概型概率公式，所求概率为： $P=\frac{M}{N}=\frac{14}{120}=\frac{7}{60}$ 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义，古典概型的总事件数与目标事件数计算。

2. 核心方法：导数化归法，分配律穷举计数法。

3. 避坑指南：容易混淆“总抛物线数 16”与“总抽样组合数 ${\text{C}}_{16}^2=120$”；在计算满足平行的选法时，只有相同和值的组数 $\ge 2$ 的项才能应用 ${\text{C}}_m^2$ 产生有效选法，单条抛物线无法自我配对。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题将微积分初阶的“切线斜率”作为引子，内嵌离散数学中的“两数之和分布”，是传统大纲高考中极具区分度的选择题压轴题型。

5. 结论推广：对于两组等差离散变量构成的和集，其和值的频数分布呈现以中心对称、两边渐减的算术阶梯规律，常可转化为概率或期望模型进行综合考查。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-06 单-几何体结构