2007-四川卷理-14 填-直线平面所成角

本题导读

本题考查正三棱柱中空间线面角大小的求解。通过寻找空间动点在目标侧面上的正射影，将空间线面夹角平直化，归结为求解直角三角形的内角。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱长为 $\sqrt{2}$，底面三角形的边长为 1，则 $B{C}_1$ 与侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的角是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找射影垂线：利用正三棱柱的垂直特性，作底面正三角形的高线，证明其垂直于整个目标侧面，锁定正射影点。

2. 判定目标线面角：连接射影线，确定 $\angle B{C}_{1}D$ 即为所求的线面角。

3. 边长求解与计算：计算直角三角形对应的对边与斜边长，利用正弦值求解出具体的角度。

✅【答案】

点击查看答案

$30^{\circ }$ （或 $\frac{\pi }{6}$）

✍【详细解析】

Abstract

取底面正三角形边 $AC$ 的中点 $D$，连接 $BD$ 和 $D{C}_1$． 因为 $△ABC$ 是边长为 1 的正三角形，且 $D$ 为 $AC$ 的中点， 所以 $BD\perp AC$，且 $BD=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 1=\frac{\sqrt{3}}{2}$． 在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$，则 $A{A}_1\perp BD$． 因为 $AC\cap A{A}_1=A$，且 $AC,A{A}_1\subset$ 侧面 $AC{C}_1{A}_1$， 所以 $BD\perp$ 侧面 $AC{C}_1{A}_1$． 由此可知，点 $B$ 在侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 上的正射影为点 $D$． 而 $C_1$ 属于该侧面，故直线 $B{C}_1$ 在侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 上的正射影为直线 $D{C}_1$． 所以，直线 $B{C}_1$ 与侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的角为 $\angle B{C}_{1}D$．

因为 $BD\perp$ 侧面 $AC{C}_1{A}_1$，且 $D{C}_1\subset$ 侧面 $AC{C}_1{A}_1$， 所以 $BD\perp D{C}_1$，即 $△B{C}_{1}D$ 是以 $D$ 为直角的直角三角形． 在 $\text{Rt}△BC{C}_1$ 中，$\angle BC{C}_1=90^{\circ }$，$BC=1$，$C{C}_1=\sqrt{2}$， 由勾股定理得斜边长： $B{C}_1=\sqrt{B{C}^2+C{C}_1^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3}$ 在 $\text{Rt}△B{C}_{1}D$ 中，利用正弦关系： $\sin \angle B{C}_{1}D=\frac{BD}{B{C}_1}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$ 因为线面角 $\angle B{C}_{1}D$ 为锐角， 所以 $\angle B{C}_{1}D=30^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{6}$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱柱的几何面线垂线构造，线面角的拓扑定义与传统几何法求解。

2. 核心方法：射影分析法（找垂线、引斜线、归结为角）。

3. 避坑指南：必须注意线面角的直角顶点是射影点 $D$ 而非原棱柱顶点 $C$；计算 $\sin \angle B{C}_{1}D$ 时需准确带入斜边 $B{C}_1$ 长度，切勿错用侧棱长进行替代。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中空间线面夹角定义的典型标准演练题，主要评估考生跨平面引垂线并进行空间结构向平面直角三角形转化的运算功底。

5. 结论推广：在底面边长为 $a$、高为 $h$ 的正三棱柱中，异侧顶点连线与对侧面所成角 $\theta$ 的正弦值通式恒满足 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{a^2+h^2}}$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性