2007-四川卷理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望

本题导读

本题主要考查概率与统计的基础知识。第一问考查相互独立事件的概率计算以及对立事件思想的应用；第二问考查不放回抽样下的超几何分布模型、随机变量分布列的列举、数学期望的计算以及实际决策问题的概率求解，旨在考查数据处理能力与应用意识。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。

(1) 若厂家库房中的每件产品合格的概率为 $0.8$，从中任意取出 $4$ 件进行检验。求至少有 $1$ 件是合格品的概率；

(2) 若厂家发给商家 $20$ 件产品，其中有 $3$ 件不合格，按合同规定该商家从中任取 $2$ 件，都进行检验，只有 $2$ 件都合格时才接收这批产品，否则拒收。求该商家可能检验出不合格产品数 $\xi$ 的分布列及期望 $E\xi$，并求该商家拒收这批产品的概率。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对于(1)，“至少有 $1$ 件合格”的对立事件是“$4$ 件全不合格”，利用对立事件概率公式 $P=1-P(\bar{A})$ 计算更简便。
2. 对于(2)，从含有固定不合格品总数的有限总体中不放回抽取，不合格品数 $\xi$ 服从超几何分布。先明确 $\xi$ 的所有可能取值，利用组合数计算各取值对应的概率，列出分布列并求期望；拒收的概率即为 $\xi \ge 1$（或 $1-P(\xi =0)$）的概率。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 记“任取 $4$ 件产品，至少有 $1$ 件是合格品”为事件 $A$，则其对立事件 $\bar{A}$ 为“取出的 $4$ 件产品全是不合格品”。 每件产品不合格的概率为 $1-0.8=0.2$。 则 $P(\bar{A})=0.2^4=0.0016$。 所以，至少有 $1$ 件是合格品的概率为： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-0.0016=0.9984$

(2) 由题意知，$20$ 件产品中有 $17$ 件合格品，$3$ 件不合格品。商家从中任取 $2$ 件，检验出不合格的产品数 $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2$。 计算各随机变量取值的概率： $P(\xi =0)=\frac{{\mathrm{C}}_{17}^2{\mathrm{C}}_3^0}{{\mathrm{C}}_{20}^2}=\frac{136}{190}=\frac{68}{95}$ $P(\xi =1)=\frac{{\mathrm{C}}_{17}^1{\mathrm{C}}_3^1}{{\mathrm{C}}_{20}^2}=\frac{51}{190}$ $P(\xi =2)=\frac{{\mathrm{C}}_{17}^0{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_{20}^2}=\frac{3}{190}$

所以，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	$0$	$1$	$2$
$P$	$\frac{136}{190}$	$\frac{51}{190}$	$\frac{3}{190}$

(注：概率值亦可写为最简分数 $\frac{68}{95},\frac{51}{190},\frac{3}{190}$)

$\xi$ 的数学期望为： $E\xi =0\times \frac{136}{190}+1\times \frac{51}{190}+2\times \frac{3}{190}=\frac{57}{190}=\frac{3}{10}=0.3$

根据合同规定，只有 $2$ 件都合格（即 $\xi =0$）时才接收这批产品，否则拒收。 则商家拒收这批产品的概率为： $P(\text{拒收})=1-P(\xi =0)=1-\frac{136}{190}=\frac{54}{190}=\frac{27}{95}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型、超几何分布的分布列与期望计算。
2. 核心方法：

• 遇到“至少”、“至多”等字眼时，优先考虑对立事件法。
• 求解不放回抽样问题时，牢记超几何分布概率公式 $P(X=k)=\frac{{\mathrm{C}}_M^k{\mathrm{C}}_{N-M}^{n-k}}{{\mathrm{C}}_N^n}$。

3. 避坑指南：

• 易错点在第(2)问 $\xi$ 的最大取值上，由于只抽取 $2$ 件，虽然不合格品有 $3$ 件，但 $\xi$ 的最大值只能到 $2$。
• 分布列求完后，必须务必自检所有概率之和是否等于 $1$（$\frac{136+51+3}{190}=1$），以防中途计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题背景源于工业生产中的“抽样验收方案”（Acceptance Sampling Plans），是概率统计在质量管理实际问题中的经典应用原型。
2. 结论推广：若总数为 $N$ 的产品中含有 $M$ 件不合格品，抽检 $n$ 件，则不合格品数 $X$ 服从超几何分布 $X\sim H(N,M,n)$，其数学期望具有固定公式：$EX=n\cdot \frac{M}{N}$。验证本题：$E\xi =2\times \frac{3}{20}=\frac{3}{10}=0.3$，完全吻合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷II理-19 解-二面角
• 2015-新课标I卷理-18 解-面面垂直