2007-四川卷理-22 解-数列放缩法级数有界性

本题导读

本题为2007年四川高考理科数学的压轴大题。第一问考查二项式定理中二项式系数最大项的确定；第二问利用导数求导公式与均值不等式证明双变量函数不等式；第三问考查核心极限数列 $u_k={\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k$ 的单调性与有界性，通过精细放缩法确定级数和的整数区间。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 设函数 $f(x)={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^x$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，且 $n>1$，$x\in \mathbf{R}$).

(1) 当 $x=6$ 时，求 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^x$ 的展开式中二项式系数最大的项；

(2) 对任意的实数 $x$，证明 $\frac{f(2x)+f(2)}{2}>f^{\prime }(x)$；

(3) 是否存在 $a\in \mathbf{N}$，使得 $an<{\sum }_{k=1}^n{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k<(a+1)n$ 恒成立？若存在，试证明你的结论并求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：将 $x=6$ 代入展开式，由二项式系数的对称性与增减性知，当指数为偶数 $2m$ 时，中间项 ${\mathrm{C}}_{2m}^m$ 的二项式系数最大，即求 $T_4$。
2. 第(2)问：求出导函数 $f^{\prime }(x)$，利用均值不等式将左边下放为 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{x+1}$，再利用对数基础不等式 $\ln (1+t)<t$ 建立大小关系，从而完成论证。
3. 第(3)问：利用二项式定理展开论证通项 $u_k={\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k$ 的严格单调递增性与上界 $3$，通过区间夹逼 $2\le u_k<3$ 进行求和放缩，确定自然数 $a$ 的值。

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可知，$2n<{\sum }_{k=1}^n{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k<3n$ 恒成立

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 当 $x=6$ 时，多项式为 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^6$。 其展开式的通项公式为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 1^{6-r}\cdot {\left(\frac{1}{n}\right)}^r={\mathrm{C}}_6^r{\left(\frac{1}{n}\right)}^r$（其中 $r=0,1,\dots ,6$）。 根据二项式系数的性质，当 $r=3$ 时，二项式系数 ${\mathrm{C}}_6^3$ 取得最大值。 故二项式系数最大的项为第 4 项： $T_4={\mathrm{C}}_6^3\cdot {\left(\frac{1}{n}\right)}^3=\frac{20}{n^3}$

(2) 证明： 由 $f(x)={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^x$，求导得 $f^{\prime }(x)={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^x\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$。 对任意实数 $x$，由均值不等式（AM-GM）可得： $\frac{f(2x)+f(2)}{2}=\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2x}+{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2}{2}\ge \sqrt{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2x}\cdot {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2}={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{x+1}$ 当且仅当 $2x=2⟹x=1$ 时等号成立。

已知当 $t>0$ 时，恒有常用对数不等式 $\ln (1+t)<t$。 令 $t=\frac{1}{n}>0$，则 $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}$。 又因为 $n>1$，则 $\frac{1}{n}<1<1+\frac{1}{n}$， 所以 $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<1+\frac{1}{n}$。 由于 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^x>0$，方程两边同乘 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^x$ 得： ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{x+1}>{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^x\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=f^{\prime }(x)$ 综上所述： $\frac{f(2x)+f(2)}{2}\ge {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{x+1}>f^{\prime }(x)$ 即 $\frac{f(2x)+f(2)}{2}>f^{\prime }(x)$ 恒成立。

(3) 存在 $a=2$ 使得不等式恒成立。 证明如下： 设 $u_k={\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。 由二项式定理展开可得： $u_k=1+k\cdot \frac{1}{k}+\frac{k(k-1)}{2!}\cdot \frac{1}{k^2}+\cdots +\frac{k(k-1)\dots 1}{k!}\cdot \frac{1}{k^k}$ $u_k=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{k}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{k}\right)\left(1-\frac{2}{k}\right)+\cdots +\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{k}\right)\dots \left(1-\frac{k-1}{k}\right)$ 当 $k$ 增大到 $k+1$ 时，展开式项数变多，且原展开式中每一项的因子 $\left(1-\frac{i}{k}\right)$ 均变大。 因此，数列 $u_k$ 随 $k$ 的增大而严格单调递增。 当 $k=1$ 时，$u_1=2$；当 $k\ge 2$ 时，$u_k>u_1=2$。

同时，由于当 $m\ge 1$ 时 $\frac{1}{m!}\le \frac{1}{2^{m-1}}$，放缩得： $u_k<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{k-1}}<1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3$ 故对一切 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，均有 $2\le u_k<3$。

由于 $n>1$，对级数进行求和： ${\sum }_{k=1}^n{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k=u_1+u_2+\cdots +u_n$ 因为 $u_1=2$，且当 $k\ge 2$ 时 $u_k>2$，可得： ${\sum }_{k=1}^n{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k>2+2+\cdots +2=2n$ 又因为对所有 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 均有 $u_k<3$，可得： ${\sum }_{k=1}^n{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k<3+3+\cdots +3=3n$ 综上可知，$2n<{\sum }_{k=1}^n{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k<3n$ 恒成立。 对照原式，知存在自然数 $a=2$ 满足要求。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开公式及系数性质、导数背景下的放缩法、重要极限数列的单调有界性分析。
2. 核心方法：

• 区分“二项式系数”与“项的系数”：前者仅指 ${\mathrm{C}}_n^r$，与多项式内项的常数无关。
• 整体夹逼放缩：将复杂的级数和转化为每项通项的宏观有界性控制。

3. 避坑指南：

• 第(3)问中，虽然 $u_k\ge 2$ 恒成立，但在累加证明左侧不等式时，必须严格指出 $u_1=2$ 且 $u_k>2(k\ge 2)$，从而说明和值严格大于 $2n$，直接套用 $\ge 2n$ 会导致漏掉严格不等号的逻辑扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题第(3)问直接取材于高等数学中自然对数底数 $e$ 的经典定义式：${\lim }_{k\to \infty }{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k=e$。题目利用高中二项式定理，完整地复现了该极限存在性的“单调有界原理”证明过程。
2. 结论推广：此结论可进一步精细化推广为： $2n<{\sum }_{k=1}^n{\left(1+\frac{1}{k}\right)}^k<en<3n$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I理-21 解-抛物线
• 2016-全国卷II理-21 解-导数