2007-大纲卷I理-08 单-对数运算性质

本题导读

本题考查对数函数的单调性及最值应用。由于底数 $a > 1$ ，对数函数在正半轴全域单调递增，从而区间端点直接对应最大值与最小值，通过作差建立方程求解 $a$ 。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)）设 $a > 1$ ，函数 $f (x) = lo g_{a} x$ 在区间 $[a, 2 a]$ 上的最大值与最小值之差为 $\frac{1}{2}$ ，则 $a =$ ()

A. $2$ 　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $22$ 　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

确定函数单调性：已知 $a > 1$ ，对数函数 $f (x) = lo g_{a} x$ 在其定义域 $(0, + \infty)$ 上严格单调递增。

提取最值并作差：

最大值在右端点取得： $M = f (2 a) = lo g_{a} (2 a)$ 。

最小值在左端点取得： $m = f (a) = lo g_{a} a = 1$ 。

两者之差为 $lo g_{a} (2 a) - lo g_{a} a = lo g_{a} (\frac{2 a}{a}) = lo g_{a} 2$ 。

解方程求底数：令 $lo g_{a} 2 = \frac{1}{2}$ ，利用对数与指数的互化求出 $a$ 。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为底数 $a > 1$ ，根据对数函数的图象与性质，函数 $f (x) = lo g_{a} x$ 在定义域上是一个严格的单调递增函数。

因此，该函数在闭区间 $[a, 2 a]$ 上的最大值和最小值分别在区间的右端点和左端点处切出：

最大值为： $M = f (2 a) = lo g_{a} (2 a)$

最小值为： $m = f (a) = lo g_{a} a = 1$

根据题目给定条件，最大值与最小值之差为 $\frac{1}{2}$ ，建立代数方程： $M - m = lo g_{a} (2 a) - lo g_{a} a = \frac{1}{2}$ 利用对数的性质（对数相减等于真数相除）： $lo g_{a} (\frac{2 a}{a}) = \frac{1}{2} ⟹ lo g_{a} 2 = \frac{1}{2}$

将对数方程转化为指数幂次形式： $a^{\frac{1}{2}} = 2$ 两边同时平方，解得底数 $a$ 的值为： $a = 2^{2} = 4$

经检验， $a = 4 > 1$ ，完全符合初始设定的大前提。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数底数 $a > 1$ 决定函数单调递增、对数运算性质（ $lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}$ ）。

核心方法：性质直接代入法。

避坑指南：

属于基础大纲里的常规送分题，利用对数减法合并真数可以省去拆解 $lo g_{a} 2 + lo g_{a} a - 1$ 的步骤，最快速度解题。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数的单调性、闭区间上的最值是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是对数函数的单调性、闭区间上的最值的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用方程基本消元法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

06.01 幂指对函数图象与性质

05.02 函数的四大性质

04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

2013-新课标II卷理-08 单-对数运算

2008-北京卷理-02 单-对数

2008-北京卷理-03 单-函数

∑ ( Math )

Explorer

2007-大纲卷I理-08 单-对数运算性质

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks