2007-大纲卷II理-08 单-一元二次方程求解

本题导读

本题考查导数的几何意义及其基础运算。函数在切点处的导数值严格等于该切线的斜率。通过对原函数求导，令导函数等于已知斜率 $\frac{1}{2}$ 建立方程即可反解出切点的横坐标。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 已知曲线 $y=\frac{x^2}{4}-3\ln x$ 的一条切线的斜率为 $\frac{1}{2}$，则切点的横坐标为()

A. 3　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 对解析式求导：运用导数的减法法则与基本初等函数求导公式对 $y=\frac{x^2}{4}-3\ln x$ 求导。

2. 利用几何意义建立方程：令 $y^{\prime }=\frac{1}{2}$，得到关于自变量 $x$ 的代数方程。

3. 求解并校验定义域：解方程求出 $x$。注意由于包含对数项 $\ln x$，自变量必须严格满足定义域大前提 $x>0$，对解进行筛选。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：已知曲线方程为 $y=\frac{x^2}{4}-3\ln x$，由于函数包含对数分量，其自变量定义域充要条件为： $x>0$

对原函数进行求导运算： $y^{\prime }={\left(\frac{x^2}{4}\right)}^{\prime }-(3\ln x{)}^{\prime }=\frac{2x}{4}-3\cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{2}-\frac{3}{x}$

根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值。 已知切线斜率为 $\frac{1}{2}$，建立方程： $\frac{x}{2}-\frac{3}{x}=\frac{1}{2}$

方程两边同时乘以最简公分母 $2x$（由定义域知 $2x>0$），将分式方程转化为整式一元二次方程： $x^2-6=x⟹x^2-x-6=0$

对左侧多项式进行十字相乘因式分解： $(x-3)(x+2)=0$ 解得： $x_1=3,x_2=-2$

结合定义域大前提 $x>0$， 负数根 $x=-2$ 违背对数真数非负红线，必须予以舍去。 因此，合法的切点横坐标为： $x=3$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义 $k=f^{\prime }(x_0)$、对数函数求导公式 $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$、对数定义域大前提。
2. 核心方法：导数模型方程法。
3. 避坑指南：

• 解方程时绝不能漏掉定义域检查。虽然此题解出的负根 -2 并不在四个选项里，不会干扰选择，但如果是在解答题中， 漏掉舍去负根的说明步骤会被扣除至少 2 分的分值。 凡遇到带 $\ln x$ 或 $\sqrt{x}$ 的函数， 必须建立首尾核对定义域的本能意识。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自高中数学选修2-2第一章导数中“导数的几何意义与切线方程”的标准例题。

2. 结论推广: 对于任何可导函数 $y=f(x)$， 求解特定斜率 $k$ 对应的切点坐标， 其本质就是求解导方程 $f^{\prime }(x)=k$ 在给定函数定义域内的实根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)