2007-大纲卷II理-12 单-焦半径公式

本题导读

本题考查抛物线定义与向量性质的综合应用，是选择题的压轴题。核心在于识别已知向量条件 $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$ 对应的数理本质：焦点 $F$ 恰好是 $△ABC$ 的几何重心。通过重心坐标公式建立横坐标的代数和，再结合抛物线焦半径性质实现秒杀。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 设 $F$ 为抛物线 $y^2=4x$ 的焦点， $A、B、C$ 为该抛物线线上三点. 若 $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$，则 $|FA|+|FB|+|FC|=$ ()

A. 9　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化向量平衡条件：由 $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$ 易知，点 $F$ 是以 $A,B,C$ 为顶点的三角形的重心。
2. 运用重心坐标公式：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$。根据重心坐标定理，其横坐标满足关系： $x_F=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$。
3. 提取抛物线特征量：由 $y^2=4x⟹2p=4⟹p=2⟹\frac{p}{2}=1$。所以焦点坐标为 $F(1,0)$，即 $x_F=1$。
4. 利用焦半径公式化简求和：

• 抛物线的焦半径公式为 $|FA|=x_1+\frac{p}{2}=x_1+1$。

• 同理，目标和式为： $|FA|+|FB|+|FC|=(x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)=(x_1+x_2+x_3)+3$。代入重心的坐标关系求解。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解：由抛物线标准方程 $y^2=4x$ 可知， $2p=4⟹\frac{p}{2}=1$。 所以，该抛物线的焦点坐标为 $F(1,0)$，其准线方程为 $x=-1$。

设该抛物线上的三个顶点坐标分别为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$。 因为已知向量等式满足： $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$ 根据平面向量的重心性质定理，这意味着焦点 $F$ 恰好为 $△ABC$ 的几何重心。

依据三角形重心坐标公式，重心 $F$ 的横坐标 $x_F$ 严格等于三个顶点横坐标的算术平均值： $x_F=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$ 将已知焦点横坐标 $x_F=1$ 代入上式中： $1=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}⟹x_1+x_2+x_3=3\text{(1)}$

根据抛物线的第二几何定义，抛物线上任意一点到焦点的距离（焦半径）等于该点到准线的垂直距离。 由准线方程为 $x=-1$ 可知，三个顶点的焦半径公式分别为： $|FA|=x_1-(-1)=x_1+1$ $|FB|=x_2-(-1)=x_2+1$ $|FC|=x_3-(-1)=x_3+1$

将这三个焦半径式子进行累加求和： $|FA|+|FB|+|FC|=(x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)$ 利用加法交换律进行同类项合拢： $|FA|+|FB|+|FC|=(x_1+x_2+x_3)+3$

将①式中的横坐标之和 $x_1+x_2+x_3=3$ 整体代入上式中： $|FA|+|FB|+|FC|=3+3=6$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量零平衡条件转换为三角形重心几何概念、重心横坐标公式、抛物线通项焦半径公式 $|PF|=x_0+\frac{p}{2}$。
2. 核心方法：坐标整体代换法。
3. 避坑指南：

• 属于极其高频的压轴必考题型。看到“向量和为零向量”，第一反应必须是联想到重心。如果采取设直线与抛物线方程联立的传统代数方法，属于思路跑偏， 会导致因计算量过大而彻底无法在有限时间内解出。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由解析几何中经典的“抛物线焦点弦与重心复合模型”改编而来，利用重心性质将复杂的代数和无损转化为一阶线性坐标运算。

2. 结论推广: 对于任何开口向右的标准抛物线 $y^2=2px$， 若其上 $n$ 个点满足 ${\sum }_{i=1}^n\overrightarrow{F{P}_i}=0$， 则这 $n$ 个点到焦点的距离之和满足统一常数公式： ${\sum }_{i=1}^n|F{P}_i|=n\cdot \frac{p}{2}$。 本题中 $n=3,p=2$， 代入公式直达 $3\times 1+3=6$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)