2007-天津卷理-09 单-反函数图象对称性

本题导读

本题考查超越方程根的大小比较。通过将三个方程转化为指数函数与对数函数图象的交点横坐标问题，利用函数的单调性与特殊值进行区间夹逼，从而确定自变量 $a,b,c$ 的大小顺序，侧重考查数形结合思想与抽象思维能力。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 设 $a,b,c$ 均为正数，且 $2^a={\log }_{\frac{1}{2}}a$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^b={\log }_{\frac{1}{2}}b$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^c={\log }_{2}c$。则()

A. $a<b<c$　　B. c < b < a　　C. c < a < b　　D. b < a < c

🔍【思路分析】

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1. 将各个方程分别视为两个函数图象交点的横坐标；
2. 利用特殊值（如 $\frac{1}{2},1$）代入各函数，判断交点（即根 $a,b,c$）所处的具体区间；
3. 借助互为反函数的性质（如 $y=(\frac{1}{2}{)}^x$ 与 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 互为反函数）精确定位根的值域范围，完成大小比较。

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各个数所处的区间分别为：$a\in \left(0,\frac{1}{2}\right),b\in \left(\frac{1}{2},1\right),c\in (1,2)$由此可直接得出：$a<b<c$

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于 $a$： 方程为 $2^a={\log }_{\frac{1}{2}}a$。 设 $f(x)=2^x$，$g(x)={\log }_{\frac{1}{2}}x=-{\log }_{2}x$。 因为 $a>0$，所以 $2^a>1$，从而 ${\log }_{\frac{1}{2}}a>1⟹a<{\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$。 由于 $a$ 为正数，故 $a\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$。

对于 $b$： 方程为 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^b={\log }_{\frac{1}{2}}b$。 注意到函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 与 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 互为反函数，其图象关于直线 $y=x$ 对称。 因此，它们的交点必在直线 $y=x$ 上，即满足 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^b=b$。 令 $h(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x-x$，则 $h(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减。 测试特殊值： $h\left(\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}>0$ $h(1)={\left(\frac{1}{2}\right)}^1-1=-\frac{1}{2}<0$ 根据零点存在性定理，可得 $b\in \left(\frac{1}{2},1\right)$。

对于 $c$： 方程为 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^c={\log }_{2}c$。 设 $\varphi (x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x-{\log }_{2}x$，该函数在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。 测试特殊值： $\varphi (1)={\left(\frac{1}{2}\right)}^1-{\log }_{2}1=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}>0$ $\varphi (2)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\log }_{2}2=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}<0$ 根据零点存在性定理，可得 $c\in (1,2)$。

综上所述，各个数所处的区间分别为： $a\in \left(0,\frac{1}{2}\right),b\in \left(\frac{1}{2},1\right),c\in (1,2)$ 由此可直接得出：$a<b<c$。 故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指、对数函数的单调性，函数零点存在性定理，反函数图象关于 $y=x$ 对称的性质。
2. 核心方法：区间夹逼法（构造特殊值判断零点范围）。
3. 避坑指南：此类题切忌盲目尝试代数变形求解（超越方程无法直接求出精确代数解），必须转化为函数图象交点，通过选择如 $\frac{1}{2},1,2$ 等关键临界值进行定性分析。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查指对数复合比较，是依托数形结合思想解决非线性方程根大小比较的经典高考题型。
2. 结论推广：处理形如 $a^x={\log }_{b}x$ 的方程根的大小比较问题，若底数在 $(0,1)$ 或 $(1,+\infty )$ 不同的组合中，均可通过对数恒等变换化为同底，并利用 $y=1$ 或 $y=x$ 等基准线及零点存在性定理进行宏观定位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-12 单-直线的截距与交点
• 2021-新高考I卷-07 单-导数切线