2007-天津卷理-10 单-函数值域最值

本题导读

本题是一道将平面向量的坐标相等、三角函数的最值以及分式函数的值域交汇考查的综合题。通过向量相等的坐标关系建立代数方程，利用辅助元转换将三角部分转化为二次函数求出变量范围，最后运用代数变形求得目标分式的取值范围。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 设两个向量 $\mathbf{a}=(\lambda +2,{\lambda }^2-{\cos }^2\alpha )$ 和 $\mathbf{b}=\left(m,\frac{m}{2}+\sin \alpha \right)$，其中 $\lambda ,m,\alpha$ 为实数。若 $\mathbf{a}=2\mathbf{b}$，则 $\frac{\lambda }{m}$ 的取值范围是()

A. $[-6,1]$　　　　B. $[4,8]$　　　　C. $(-\infty ,1]$　　　　D. $[-1,6]$

🔍【思路分析】

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1. 根据向量相等的充要条件（对应坐标相等），列出关于 $\lambda ,m,\alpha$ 的方程组；
2. 利用第一式将 $m$ 用 $\lambda$ 表示，代入第二式中，将三角函数统一化为关于 $\sin \alpha$ 的二次多项式；
3. 利用 $\sin \alpha \in [-1,1]$ 确定 $\lambda$ 的取值范围；
4. 将目标代数式 $\frac{\lambda }{m}$ 转化为关于 $\lambda$ 的单变量分式函数，利用函数的单调性求解其取值范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $\mathbf{a}=2\mathbf{b}$，根据向量的坐标运算可得： $\{\begin{array}{ll}\lambda +2=2m& \text{(1)}\\ {\lambda }^2-{\cos }^2\alpha =2\left(\frac{m}{2}+\sin \alpha \right)& \text{(2)}\end{array}$ 由①得：$2m=\lambda +2$。 将 $2m$ 代入②式右边展开得： ${\lambda }^2-{\cos }^2\alpha =m+2\sin \alpha ⟹{\lambda }^2-{\cos }^2\alpha =\frac{\lambda +2}{2}+2\sin \alpha$ 移项并将 ${\cos }^2\alpha$ 化为 $1-{\sin }^2\alpha$： ${\lambda }^2-\frac{\lambda +2}{2}={\cos }^2\alpha +2\sin \alpha$ ${\lambda }^2-\frac{1}{2}\lambda -1=-{\sin }^2\alpha +2\sin \alpha +1$ 设 $t=\sin \alpha$，因为 $\alpha \in \mathbf{R}$，所以 $t\in [-1,1]$。 令右边函数为 $g(t)=-t^2+2t+1=-(t-1{)}^2+2$。 当 $t\in [-1,1]$ 时，由二次函数的单调性可知： $g(t{)}_{\max }=g(1)=2$ $g(t{)}_{\min }=g(-1)=-(-1{)}^2+2(-1)+1=-2$ 因此，有 $-2\le {\lambda }^2-\frac{1}{2}\lambda -1\le 2$。

解不等式组： 由 ${\lambda }^2-\frac{1}{2}\lambda -1\ge -2⟹{\lambda }^2-\frac{1}{2}\lambda +1\ge 0$，由于 $\Delta ={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-4<0$，该式对一切 $\lambda \in \mathbf{R}$ 恒成立； 由 ${\lambda }^2-\frac{1}{2}\lambda -1\le 2⟹{\lambda }^2-\frac{1}{2}\lambda -3\le 0⟹2{\lambda }^2-\lambda -6\le 0$。 因式分解得 $(2\lambda +3)(\lambda -2)\le 0$，解得 $-\frac{3}{2}\le \lambda \le 2$。

目标代数式为 $\frac{\lambda }{m}$，由①知 $m=\frac{\lambda +2}{2}$，则： $\frac{\lambda }{m}=\frac{2\lambda }{\lambda +2}=\frac{2(\lambda +2)-4}{\lambda +2}=2-\frac{4}{\lambda +2}$ 因为 $-\frac{3}{2}\le \lambda \le 2$，所以 $\frac{1}{2}\le \lambda +2\le 4$。 从而有 $1\le \frac{4}{\lambda +2}\le 8$。 进一步地，$-8\le -\frac{4}{\lambda +2}\le -1$。 两边同时加上 2 得： $-6\le 2-\frac{4}{\lambda +2}\le 1$ 即 $\frac{\lambda }{m}$ 的取值范围是 $[-6,1]$。 故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量相等的坐标表示；同角三角函数关系与换元思想；分式函数值域的求法。
2. 核心方法：消元减元法。将多变量的复杂系统通过逐步替换，降维成单变量的函数范围问题。
3. 避坑指南：在将三角函数转换为二次函数时，切记补上隐性自变量范围 $t\in [-1,1]$，如果忽略此范围限制，会导致求出的 $\lambda$ 范围扩大，从而错选答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将向量作为引导关系的工具，核心考查的是函数与代数不等式的综合求解。源自对基础代数恒等变换和二次函数最值的深度理解。
2. 结论推广：对于满足形如 $f(\lambda )=a{\sin }^2\alpha +b\sin \alpha +c$ 的问题，通法均是先利用三角函数有界性锁定左侧 $f(\lambda )$ 的有界闭区间，再利用反函数或分式性质求解复合目标式的值域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷理-10 单-向量模长
• 2015-新课标II卷理-13 填-向量共线