2007-天津卷理-15 填-向量数量积运算

本题导读

本题考查平面向量性质的综合计算。通过选择三角形的两条已知夹角和长度的边作为基底，将未知向量转化为基底的线性组合，利用数量积公式完成求解，考查逻辑转化与运算能力。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 如图，在 $△ABC$ 中，$\angle BAC=120^{\circ }$，$AB=2AC=1$，$D$ 是边 $BC$ 上一点，$DC=2BD$，则 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选定 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 作为平面向量的一组基底，计算出基底自身的模长及数量积 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$；
2. 由 $DC=2BD$ 可知 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，利用向量的分点公式将 $\overrightarrow{AD}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 分别用基底 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 线性表示；
3. 将两式进行数量积乘法展开，代入已知基本数值完成计算。

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$-\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由题意知， $AB=1$，$AC=\frac{1}{2}$，$\angle BAC=120^{\circ }$。 则基底的数量积为： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos 120^{\circ }=1\times \frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$ 因为 $DC=2BD$，所以 $D$ 是 $BC$ 的三等分点，满足 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$。 将 $\overrightarrow{AD}$ 用基底表示： $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ 将 $\overrightarrow{BC}$ 用基底表示： $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ 进行数量积运算： $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$ $=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ $=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^2$ 代入 $|\overrightarrow{AB}|=1$，$|\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}$ 和 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{1}{4}$ 得： $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\times \left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{2}{3}\times 1^2+\frac{1}{3}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ $=-\frac{1}{12}-\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=-\frac{2}{3}$ 故答案为 $-\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的基本定理（基底法）、向量数量积的定义与运算律。
2. 核心方法：向量建基底法。将任意复杂的向量线段交错问题，转化为始点相同的两个不共线基本向量的运算。
3. 避坑指南：

• 易错点在利用 $DC=2BD$ 转化向量时，注意方向。应为 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ 而非 $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。
• 向量减法拆分时要分清终点和起点，如 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，切勿记反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查非直角三角形中的向量投影和乘积，是平面向量大纲中最为标准的经典基底考查题型。
2. 结论推广：若在 $△ABC$ 中，$D$ 满足 $\overrightarrow{BD}=\lambda \overrightarrow{BC}$，则 $\overrightarrow{AD}=(1-\lambda )\overrightarrow{AB}+\lambda \overrightarrow{AC}$。通过改变 $\lambda$ 的值以及 $△ABC$ 的形状，可以衍生出大量的向量小题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-13 填-同角三角函数
• 2018-全国卷I理-13 填-线性规划